Aufgaben mit denen man den Mathematiklehrer ins Grübeln bringt?

12 Antworten

Ein Jäger geht von seinem Haus zu seiner Jagdhütte, die 15 km von seinem Haus entfernt ist. Er geht mit einer konstanten Geschwindigkeit von 5 km/h.

Sein Hund, der gleichzeitig mit dem Jäger das Haus verlässt, läuft vor bis zur Jagdhütte, kehrt dort sofort um, läuft wieder zum Jäger zurück, kehrt dort auch wieder sofort um und läuft zur Hütte, usw., bis der Jäger an der Hütte ankommt.

Frage: Welchen Weg legt der Hund hierbei zurück?

Anekdote: Als jemand dem Mathematiker John von Neumann diese Aufgabe gestellt hat, hat Herr von Neumann einen Moment überlegt und die richtige Antwort geliefert. Der Fragesteller sagte: "Man merkt sofort, dass Sie ein Mathematiker sind. Sie sind sofort auf den Trick gekommen. Die meisten Menschen versuchen das nämlich erst einmal mit einer geometrischen Reihe." - "Ich weiß," erwiderte der Mathematiker, "genau das habe ich soeben gemacht."

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Die Skizze ist leider etwas unglücklich geraten, ich hoffe, man kann es trotzdem erkennen.

Um den Ursprung eines Koordinatensystems wird ein Kreis mit dem Radius r gezeichnet.

Diesem Kreis wird ein Rechteck einbeschrieben, dessen Seiten parallel zu den Achsen sind.

Diesem Rechteck wird eine Raute einbeschrieben, dessen Ecken die Mittelpunkte der Rechteckseiten sind, bzw. die Schnittpunkte der Rechteckseiten mit den Achsen.

Welchen Umfang hat das Parallelogramm?

Mit dem richtigen Symmetrieargument kann man die Lösung in wenigen Sekunden im Kopf ausrechnen.

Weitere Aufgabe:

Wir fangen an mit der Funktion

f1(x) = 1 - 1 / x

Nehmen wir uns mal eine (fast) beliebige Zahl vor, z. B. 5.

Dann ist

f1(5) = 1 - 1/5 = 4/5

f1(4/5) = 1 - 5/4 = -1/4

f1(-1/4) = 1 - (-4) = 5, also wieder die Ausgangszahl.

Das stimmt für jede Zahl, auf die die Verkettungen von f anwendbar sind. (Also nicht für 0 oder 1, es sei denn, man nimmt nicht ℝ als Grundmenge, sondern ℝ ∪ {∞}.)

Als nächstes nehmen wir die Funktion

f2(x) = 1 - 1 / (2*x)

Hier kommen wir nach 4 Schritten wieder bei der Ausgangszahl an.

Auch

f3(x) = 1 - 1 / (3*x)

führt wieder nach wenigen Schritten auf die ursprüngliche Zahl.

Frage:

Für welche Zahlen k ∈ ℝ führt

f_k(x) = 1 - 1 / (k * x)

nach endlich vielen Schritten wieder zur Ausgangszahl zurück?

Aufgabe:

Geben Sie eine Bildungsvorschrift an, mit der sich jede Funktion darstellen lässt, die die Eigenschaft hat, dass sie, endlich oft auf eine beliebige Zahl aus ℝ \ M (M endlich) angewandt, die Identität auf ℝ \ M ist. (Oder ℝ \ M durch ℝ ∪ {∞} ersetzt, was auf dasselbe herauskommt. - Man kann auch die abgeschlossene komplexe Ebene bzw. die Riemannsche Zahlenkugel als Ausgangsmenge nehmen, aber das führt dann schon wieder etwas näher an die Lösung heran.)

Zeigen Sie, dass jede der so erzeugten Funktionen diese Eigenschaft hat und dass es keine weiteren Funktionen mit dieser Eigenschaft gibt.

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Hier mal sechs Aufgaben, die ganz offensichtlich einen Fehler beinhalten, der aber nur mit relativ gutem Hintergrundwissen gefunden werden kann:

A)

1 = √1
1 = √((-1)*(-1))
1 = √-1 * √-1
1 = (√-1)²
1 = -1

B)

-2a = 4b
10a - 12a = 24b - 20b        |+20b
10a - 12a + 20b = 24b.      |+12a
10a + 20b = 12a + 24b
10(a + 2b) = 12(a + 2b).     |:(a + 2b)
10 = 12

⇒ IL = {}, ABER {(-2 | 1)} ⊂ IL

C)

0! = 1
1! = 1
⇒ 0! = 1!
⇒ 0 = 1

D) 

log(-10) + log(-10)
= log(-10 * -10)
= log(100)
= 2

log(-10) + log(-10) = 2log(-10) = 2

2log(-10) = 2
log(-10) = 1

E)

4² = (-4)²
4 = -4

F)

x² + 4 ≥ 0         |-4
x² ≥ -4              |√
x ≥ √-4
⇒ keine reelle Lösung?

Ich habe mal ganz bewusst keine Lösung hingeschrieben. Für den einen sind die Lösungen trivial, für den anderen sehr tricky, es kommt darauf an, wie umfangreich das Hintergrundwissen des besagten Mathelehrers ist.

Ich würde mich über eine Rückmeldung, wie viele der Aufgaben er lösen konnte, sehr freuen. 

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :) 

LG Willibergi

Ein Mönch beginnt um 6 Uhr morgens einen Berg zu besteigen, und kommt um 8 Uhr abends am Gipfel an. Dort verbringt er die Nacht, um dann am nächsten Tag um 6 Uhr morgens wieder den Berg hinabzusteigen. Er wählt die gleiche Route wie vorher, ist jedoch nicht zu jedem Zeitpunkt genauso schnell wie vorher, kommt aber trotzdem genau um 8 Uhr abends am Fuße des Berges an.
Zeige: Es gibt eine Uhrzeit, zu der der Mönch an beiden Tagen am gleichen Ort war.

Man kann das ganze zwar auch anschaulich lösen, aber es reichen einfache Sätze aus der An*lysis, die dein Lehrer auf jeden Fall anwenden können sollte.

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PPS: Diese Note bzw ist nur auf die Arbeit bezogen, nicht auf das Jahreszeugnis

LG

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Hallo,

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Ich habe mal darüber nachgedacht, wenn ich mir eine Aufgabe anschaue, passiert meistens Folgendes:

  • ich habe sofort eine Idee, wie man die Aufgabe (meist auch auf verschiedene Wege) lösen kann.
  • Ich überspringe tatsächlich oft viele Schritte, weil es mir logisch erscheint. In der Klausur natürlich nicht, da es eben genau dafür die Punkte gibt
  • Ich habe oft auch verschiedene Wege im Kopf, wie man die Aufgabe bewerkstelligen kann. Neulich im Matheunterricht sollte ich was beweisen, ich hab es auf zwei verschiedene Arten gemacht. Den SdP sollten wir auch mal beweisen, ich hab noch eine Art hinzugefügt, die nur mit Mitteln des dritten Semesters in der Oberstufe lösbar ist. Das ist aber nicht immer der Fall.
  • Wenn ich eine Aufgabe löse, so fallen mir meist unbewusst sofort Beziehungen zu anderen mathematischen Bereichen auf. So hab ich mal eine ganz einfache Antwort zum Thema binomische Formel gegeben und während dem Schreiben fiel mir ein Zusammenhang zu quadratischen Funktionen auf (aber ein recht seltsamer, weshalb mich das etwas irritierte). Ich knüpfe also sehr oft Verbindungen zu anderen Teilbereichen der Mathematik, wie gesagt unbewusst.
  • Routineaufgaben krieg ich oft nicht raus. Das habe ich beim Mathe MSA gemerkt. Mein Mathelehrer meinte da zu mir "Die schwierigen Aufgaben hast du alle richtig, an den leichten Aufgaben bist du gescheitert". Hab ne 2 bekommen. Heißt das, dass ich zu komplex dafür denke? Ein Beispiel fällt mir sogar noch ein: Wir sollten die Wurzel aus (-4)² angeben. Man hat gelernt: Wurzel und Quadrat heben sich auf. Was macht man also? Wurzel und Quadrat streichen, Lösung -4. Was mir aber erst im Nachhinein aufgefallen ist: Es war die positive, nicht die negative Wurzel erfragt (auch, wenn die Wurzel aus 16 ebf. -4 ist). Ich sollte auch mal ner Achtklässlerin Aufgaben erklären, die ich allen Ernstes nicht rausgekriegt hab o.o

Was kann ich damit anfangen? Ich meine, die Fähigkeiten haben doch garantiert irgendwas Positives, außer, dass ich Stoff verstehe, der über den Schulstoff hinaus geht. Wie kann ich dort einen bestmöglichen Nutzen draus ziehen? Mehr als 15 Punkte und Mathe LK (was bei mir beides der Fall ist) geht ja nicht. Leider langweile ich mich sehr in Mathe, weshalb ich Angst hab, dass sich dadurch meine Note verschlechtert. Im letzten Jahr hab ich meine HA nie gemacht, und mein Mathelehrer fand das ok, weil ich es ja kann (war sein Argument). Ich habe zwar sehr gut mitgearbeitet, aber ich habe dann damit ich mich nicht langweile Aufgaben aus höheren Klassenstufen und Abiaufgaben gekriegt...

Danke für eure Ratschläge!

LG ShD

PS: Bin w/17...

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