Aufgabe Geometrie?
Hallo,
warum gilt in folgender geometrischer Figur unabhängig von der Lage des Punktes C innerhalb des Kreises: (gemeint sind die Längen der Strecken)
AC • CE = BC • CD
Einfallen würde mir der Strahlensatz, aber dafür müssten doch AB und DE parallel sein, oder?
Würde mich sehr über Ideen freuen :)
3 Antworten
ACCE = BCCD
Was du meinst, kannst du so schreiben:
|AC| * |CE| = |BC| * |CD|
Dann versteht man es auch.
"Strahlensatz" ist da nicht zu erkennen, aber sehr wohl das, was auch hinter den sogenannten Strahlensätzen steckt, nämlich ähnliche Dreiecke !
(seit langer Zeit plädiere ich dafür, den Begriff "Strahlensätze" aus der Schulmathematik zu entfernen und dafür den Begriff der Ähnlichkeit und den Umgang damit zu stärken)
Ja, eben. Einmal das Prinzip der Ähnlichkeit "schnallen" anstatt drei (oder wie viele?) "Strahlensätze" zu büffeln !
Das ist der sogenannte Sehnensatz.
https://de.wikipedia.org/wiki/Sehnensatz
Man kann den Satz zeigen, indem man mit Hilfe von Scheitelwinkelsatz und Umfangswinkelsatz zeigt, dass die Dreiecke ADC und BCE (Bezeichnungen entsprechend deines Bildes) ähnlich zueinander sind, da die Dreiecke gleiche Innenwinkel haben. Demnach stimmen dann entsprechende Seitenverhältnisse bei den Dreiecken überein, sodass...
Länge([AC])/Länge([CD]) = Länge([BC])/Länge([CE])
... ist. Umstellen der Gleichung liefert dann...
Länge([AC]) ⋅ Länge([CE]) = Länge([BC]) ⋅ Länge([CD])
Da würde ich den Sohlensatz benutzen
Da hast Du recht. Wenn man verstanden hat, was Ähnlichkeit von Dreiecken bedeutet, erklären sich die Strahlensätze von selbst.