Aufgabe Berechnen ( Eine Gerade verläuft durch den ursprung (0|0) und den Punkt P1 (2|1). Eine Zweite Gerade ist gegeben durch y= -1,5x+2 Aufgabe steht unten?

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3 Antworten

Du kennst die allgemeine Geradengleichung:

y=mx+n

Die erste Gerade musst du aus den Angaben rekonstruieren:

Eine Gerade verläuft durch den Ursprung

Daraus folgt: n=0

Daraus folgt:

g2(x)=mx

Außerdem kennst du zwei Punkte, nämlich P(0|0) und Q(2|1).

Du bestimmst die Steigung.

m=(y2-y1)/(x2-x1)

m=(1-0)/(2-0)

m=1/2

Daraus folgt:

g2(x)=1/2x

Du hast nun zwei Geraden, nämlich g1(x)=-1,5x+2 und g2(x)=1/2x

Schnittpunkt der Geraden:

g1=g2

-1,5x+2=1/2x |+1,5x

2=2x | :2

x=1

x=1

Diesen Wert setzt du in g1 oder g2 ein. Ich wähle g2.

g2(1)=0,5

Die beiden Geraden schneiden sich demnach bei S(1|0,5)

Nun musst du eine Gerade finden, welche entweder senkrecht zu g1 oder g2 verläuft. Ich wähle g2, da es dabei einfacher ist. Eine Gerade, welche senkrecht zu einer anderen Geraden verläuft, nennt man auch Normale.

Für die Steigung einer Normalen gilt:

m= der negative Kehrwert der Steigung der Gerade, zu der die Normale senkrecht verlaufen soll.

m=-2 (negativer Kehrwert von 1/2)

Es gilt demnach:

n(x)=-2x+n

Nun müssen wir einen Punkt auswählen, durch welche die Gerade, zu der die Normale senkrecht verlaufen soll. geht. Ich wähle P(0|0)

Eingesetzt ergibt sich:

0=-2*0+n

Es folgt: n=0

Es folgt:

n(x)=-2x

Die Gerade g2(x) und ihre Normal n(x) stehen im Ursprung senkrecht aufeinander.

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y = m * x + b

b = y - m * x

Punkt 1 --> P _ 1 (x _ 1 | y _ 1)

Punkt 2 --> P _ 2 (x _ 2 | y _ 2)

mit x _ 2 > x _ 1

m = (y _ 2 - y _ 1) / (x _ 2 - x _ 1)

b = y _ 1 - m * x _ 1 oder b = y _ 2 - m * x _ 2

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Anwendung auf dein Beispiel -->

P _ 1 (0 | 0)

x _ 1 = 0

y _ 1 = 0

P _ 2 (2 | 1)

x _ 2 = 2

y _ 2 = 1

m = (1 - 0) / (2 - 0) = 1 / 2

b = 0 - 1 / 2 * 0 = 0

y = (1 / 2) * x + 0

y = (1 / 2) * x

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a.)

Beide Geraden gleichsetzen -->

(1 / 2) * x = -1.5 * x + 2

Nach x auflösen -->

(1 / 2) * x + 1.5 * x = 2

2 * x = 2 | : 2

x = 1

In y = (1 / 2) * x oder y = - 1.5 * x + 2 einsetzen -->

y = (1 / 2) * 1 = (1 / 2) = 0.5

Im Punkt (1 | 0.5) schneiden sich die beiden Geraden

b.)

Eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Gerade, wenn ihre beiden Steigungen miteinander multipliziert zusammen den Wert -1 ergeben.

y = (1 / 2) * x

Steigung m = 1 / 2

Nennen wir die Steigung der anderen Geraden hier k, dann muss gelten -->

m * k = -1

(1 / 2) * k = -1 | * 2

k = -2

y = -2 * x

y = -2 * x steht senkrecht auf y = (1 / 2) * x und beide Geraden schneiden sich im Punkt (0 | 0)

Für die Gerade y = -1.5 * x + 2 lässt sich auf die gleiche Art und Weise eine Gerade finden, die senkrecht auf dieser steht.

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a)
1. Bestimme die Geradengleichung der ersten Geraden mithilfe der gegebenen Punkte
2. Setze sie beiden Geradengleichungen, die du jetzt hast gleich
3. Ergebnis auflösen nach x
4. y anhand des errechneten x berechnen (kannst dann die zweite Geradengleichung zur Überprüfung nehmen
5. Das sind die Koordinaten des Schnittpunktes

b)
Zeichne dir Mal ein paar zueinander orthogonale Geraden und sieh dir an, wie die Geradengleichungen aussehen müssen
=> jetzt weißt du, wie sich orthogonale Geraden zueinander verhalten

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