Auf- und Ableiten einer e-Funktion?

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3 Antworten

e-Funktionen sind eigentlich recht einfach. Beim Ableiten und beim Integrieren bleibt die e-Funktion einfach bestehen. z.B. ist die Ableitung von e^x wieder e^x. Wenn im Exponenten aber mehr als nur x steht, z.B. e^(-5x+2) dann musst du entsprechend die Kettenregel bzw. Substitution anwenden. Die Ableitung von der Funktion wäre dann z.B. -5*e^(-5x+2) da du die innere mit der äußeren Ableitung multiplizierst.

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aniles0147 12.11.2016, 17:31

danke!:)

Wenn ich aber nun beispielsweise die Funktion e^ (1-2x) habe, wieso kommt man dann auf die Stammfunktion -1/2 e^(1-2x)?? Also dass die e-funktion dann wohl immer bleibt und hintendran steht, und man den Exponenten ableiten und vornedran schreiben muss, hab ich glaub ich  verstanden :D aber wieso denn die 1/2 ?:D

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wictor 12.11.2016, 17:41
@aniles0147

Das Stichwort hier ist Integration durch Substitution. Ich muss jetzt leider weg, kann es dir also erst später ausführlich erklären aber du findest auch genug Beispiele im Internet dazu. Du substituierst 1-2x, also den gesamten Exponenten, dann leitest du ihn ab und bildest den Kehrwert. Dadurch kommt das -1/2 zustande.

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Die Funktion

(1) f₁(x) = a·e^{x} = a·exp(x)

mit einer beliebigen Konstanten a ist ihre eigene Ableitung. Ihre Reihendarstellung

(2) exp(x) = 1 + x + ½·x² + ¹/₆·x³ + … + (1/n!)·xⁿ + …

zeigt dies, denn jedes Glied der Exponentialreihe ergibt abgeleitet das vorherige, und die Ableitung von 1 ist 0.

Für die Ableitung einer Exponentialfunktion, deren Argument nicht nur aus x besteht, gilt die Kettenregel, und eine Stammfunktion lässt sich ggf. durch Substitution finden.

Sei beispielsweise

(3.1) f₂(x) = a·exp(b·x).

Dann ist

(3.2) f₂′(x) = a·exp(b·x)·(b·x)′ = a·b·exp(b·x).

Dass die Stammfunktion

(3.3) F₂′(x) = (a/b)·exp(b·x)

ist, lässt sich leicht erraten, man bräuchte dafür nicht die Methode der Substitution. Allerdings kann man die auf diese Weise besonders leicht zeigen.

Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist

(4.1) F₂(x₁) = F₂(x₀) + ∫_[x₀]^{x₁} dx f₂(x)
                  = F₂(x₀) + ∫_[x₀]^{x₁} dx{a·exp(b·x)}
                  = F₂(x₀) + a·∫_[x₀]^{x₁} dx{exp(b·x)},

wobei F₂(x₀) die Integrationskonstante ist, gern auch mal C genannt, und x₁ können wir als Konstante, aber auch als Variable verstehen.

Wir substituieren b·x → β und erhalten

(4.2) F₂(x₁) = F₂(x₀) + a·∫_[b·x₀]^{b·x₁} dβ(dx/dβ){exp(β)}
                  = F₂(x₀) + a·∫_[b·x₀]^{b·x₁} dβ(1/b){exp(β)}
                  = F₂(x₀) + (a/b)·∫_[b·x₀]^{b·x₁} dβ{exp(β)}
                  = F₂(x₀) + (a/b)·(exp(b·x₁) – exp(b·x₀)),

und wenn wir F₂(x₀) = (a/b)·exp(b·x₀) setzen, erhalten wir

(4.3) F₂(x₁) = (a/b)·exp(b·x₁).

Bei

(5) F₃ = exp(1 – 2x)

kann man 1 – 2x → α substituieren, und somit ist

x = ½(1 – α) = ½ – ½α,

und

dx/dα = –½.

Somit ist

(6.1) F₃(x₁) = F₃(x₀) + ∫_[x₀]^{x₁} dx exp(1 – 2x)
                = F₃(x₀) + ∫_[x₀]^{x₁} dα(dx/dα){exp(α)}
                = F₃(x₀) + ∫_[1–2x₀]^{1–2x₁} dα(–½){exp(α)}
                = F₃(x₀) + (–½)∫_[1–2x₀]^{1–2x₁} dα{exp(α)}
                = F₃(x₀) + (–½)(exp(1–2x₁) – exp(1–2x₀)),

und wenn man F₃(x₀) = exp(1–2x₀) setzt, kommt

(6.2) F₃(x₁) = –½·exp(1–2x₁)

heraus. Durch Ableiten kann man sich vergewissern, dass es auch stimmt:

(7) F₃′(x₁) = –½·exp(1–2x)·(–2) = exp(1–2x),

Voilà!

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Mathematiker-Witz:

Treffen sich zwei Funktionen im n-dimensionalen Raum.

Sagt die eine zur anderen: "Hah - ich differenzier' Dich jetzt!"

Antwortet die andere: "Ätsch - ich bin 'ne e-Funktion!"

;-)

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