Asymptoten oder nicht?

4 Antworten

Direkt - ohne Rechnerei - zu erkennen, ob eine Funktion Asymptoten besitzt oder nicht, ist bei einfachen Potenzfunktionen mit D = {x∈R | x≠q} mit genau einer Potenz a*x^b mit b >= 0 und b = 2n (n∈ℕ*) (diese Bedingung ist notwendig, um ungerade oder gebrochenrationale Exponenten auszuschliessen) möglich, z.B. bei der reinquadratischen Funktion f(x) = (-)x^2 + q. Denn solche Funktionen besitzen immer genau einen Scheitelpunkt auf der Höhe des y-Achsenabschnittes q (genau ein Extrema) und keine nicht hebbaren Definitionslücken.

In solchen Fällen kommen nur waagrechte, zur x-Achse parallele Asymptoten in Frage, welche der Form einer konstanten Funktion A: y = q gleichkommen. Der Wert des y-Achsenschnittpunktes zeigt dir dabei an, auf welcher Höhe die Asymptote zu liegen kommt.

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Ergänzung: Bei Scheitelpunkten besagter Funktionen handelt es sich nicht um tatsächliche, sondern um "Pseudo-Scheitelpunkte", die jeweils durch eine Behebung der hebbaren Definitionslücke zustande kämen.

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Ganzrationale Funktionen besitzen keine Funktionsfehlstellen und damit keine Asymptoten! Bei gebrochenen Funktionen wird es Ausnahmen geben, aber in der Regel haben sie Asymptoten.

Es muß eine gebrochen rationale Funktion vorliegen h(x)=f(x)/g(x)

Ausnahme bei f(x)=tan(x) Asymptote f(x)=tan((2*k+1)*pi/2) mit k=0,1,2,3...

und f(x)=cot(x) Asymptote f(x)=cot(k*pi) mit k=0,1,2,3,,,

siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jeden Buchladen bekommt.

Kapitel Differentialrechnung

Achsparallele Asymptoten y=f(x) y=lim (x) x→unendlich

x=lim x y→ unendlich

Asymptoten beliebiger Richtung y=f(x)

y=m*x+b mit m=lim f(x)/x x→ unendlich und b=lim ((f(x)-m*)) x → unendlich

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