Arithmetische Folge - Matheaufgabe?

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4 Antworten

Hallo,

bei einer arithmetischen Folge mit einer geraden Zahl von Gliedern ist die Summe der beiden mittleren Glieder dieselbe wie die Summe des ersten und des letzten Gliedes.

Wenn Du das erste Glied x nennst, dann ist das 20. Glied x+19y, wobei y der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern ist.

So kannst Du zwei Gleichungen aufstellen:

x+x+19y=60, also 2x+19y=60, also 19y=60-2x

und x*(x+19y)=87,5

Da 19y=60-2x ist, kannst Du die zweite Gleichung umformen:

x*(x+60-2x)=87,5

x*(-x+60), also -x²+60x-87,5=0

Für diese quadratische Gleichung gibt es zwei Lösungen:

x=58,504 oder x=1,496

Da 19y=60-2x ist, ist y=(60-2x)/19, was im ersten Fall zu y=-3,0004,

im zweiten Fall zu y=3,0004 führt.

So lautet die Folge also entweder 58,504-3,0004*n

oder 1,496+3,0004*n

Probe:

1,496+58,504=60

1,496*58,504=87,5 (Alle Ergebnisse gerundet)

Herzliche Grüße,

Willy

Das Stichwort ist "arithmetische Folge", d.h. die Differenz aufeinander folgender Glieder ist konstant. Deshalb kann man auch sagen, dass, wenn d diese Differenz ist, dass
i[10] = i[01] + 9d =: a+9d (a wie Anfang).
Es ist auch
a(a+19d)=a²+19ad=87,5
2a+19d=60.
2 Gleichungen, 2 Variablen.

a20 = a1 + 19d

a10 = a1 + 9d

a11 = a1 + 10d

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a10 + a11 = 60

a1 • a20 = 87,5

jetzt die oberen hier einsetzen

und a1 und d berechnen.  2 Gleichungen, 2 Unbekannte.

usw


Die beiden mittleren Glieder sind an Stelle 10 und 11. Der Anstieg der Folge sei a. i[x] sei die x-te Stelle der Folge. Es gilt nun:

i[10]+i[11]=60

i[11]-i[10]=a

i[1]*i[20]=87,5

i[1]+9a=i[10]

i[11]+9a=i[20]

Das sind fünf unbekannte Variablen und fünf Gleichungen. Sollte lösbar sein.

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