Approximation der Cosinusfunktion?

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1 Antwort

bei a) hast Du Dich bei den Ableitungen von g(x) vertan:
g'(x)=-8/pi² * x und folglich g''(x)=-8/pi²

Betrachtest Du jetzt die Graphen f' und g' bzw. f'' und g'' dann stellst Du fest, dass diese nicht mehr so weit auseinanderliegen, d. h. die Steigung der Graphen ist in dem zu untersuchenden Intervall sehr ähnlich und auch die Änderung der Steigung hält sich im Rahmen...

bei b) A) integrierst Du einfach beide Funktionen für sich und vergleichst die Flächen.
b) B) geht so, wie Du vermutet hast. Die "Differenzfunktion" bilden und daraus die Extremwerte ermitteln.

Paguangare 17.01.2017, 10:59

Vielen herzlichen Dank, du hast Recht mit der ersten und zweiten Ableitung von g (x).

Aber wie integriert man nun eine Funktion über einen bestimmten Bereich?

Was muss ich tun, um die Fläche unter der Cosinusfunktion im Bereich von - pi/2 bis + pi/2 zu erfahren?

Ich weiß nur, dass die Stammfunktion der Cosinusfunktion die Minus-Sinusfunktion ist. Aber nützt mir das hier?

Außerdem ist mir klar, dass die Fläche kleiner sein muss als das Rechteck pi * 1. Die Strecke von - pi/2 bis + pi/2 hat natürlich eine Länge von pi, und die maximale Höhe der Cosinusfunktion ist 1.

Ich komme einfach nicht darauf.

Was die Integration von g(x) betrifft, so denke ich, dass die Stammfunktion lautet:

G (x) = - 1,3333 x³/pi² + x

Ich habe hier einmal 1,333 für 4/3 geschrieben.

Um das Integral zu berechnen, müsste man die Funktionswerte für die obere Grenze (also pi/2) und für die untere Grenze (also - pi/2) in die Stammfunktion einsetzen. Dann bildet man die Differenz vom Ergebnis für die obere Grenze und dem Ergebnis für die untere Grenze.

G (pi/2) = - (pi²/6) + pi/2

G (- pi/2) = pi²/6 - pi/2

Die Differenz ist:

G (pi/2) - G (- pi/2) = - pi²/3 + pi = - 0,148

Dies ist zum einen eine ziemlich kleine Zahl, zum anderen ist sie negativ. Das kann also nie und nimmer die Fläche unter der Funktion g (x) im Bereich - pi/2 bis + pi/2 sein.

Was habe ich hier falsch gemacht?

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Rhenane 17.01.2017, 12:11
@Paguangare

Um generell eine Fläche unter einem bestimmten Intervall zu berechnen, musst Du zuerst alle Nullstellen in diesem Intervall ermitteln und dann immer von einer Nullstelle zur nächsten integrieren und abschließend die BETRÄGE addieren. Läuft nämlich die Funktion mal ins negative innerhalb des Intervalls, dann würde dieser Bereich ansonsten abgezogen werden!

Hier sind die Grenzen des Intervalls zugleich die einzigen Nullstellen, somit kannst Du direkt in einem durchrechnen.
G(x)=-4/(3pi²) * x³ + x
Int=G(pi/2)-G(-pi/2) = -pi/6+pi/2 - (pi/6-pi/2) = -pi/3+pi = 2/3pi=2,09

[Du hast Dich beim Einsetzen von pi/2 verrechnet (pi³/pi²=pi nicht pi²]

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Paguangare 18.01.2017, 08:03
@Rhenane

Auch ich bin inzwischen darauf gekommen, dass die Fläche unter g(x) 2,09 ist, im Vergleich zu 2,00 unter f(x).

Auch den maximalen Abstand zwischen den Ordinatenwerten habe ich lokalisiert. Er liegt bei ungefähr x = 1,098.

Welche Methode ist nun deiner Meinung nach das bessere Gütemaß für die Approximation?

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Rhenane 18.01.2017, 09:57
@Paguangare

Ich denke, dass der Abstand der Ordinatenwerte aussagekräftiger ist. Je geringer der max. Abstand ist, desto ähnlicher sehen die beiden Graphen aus.

Den gleichen Flächeninhalt kannst Du auch durch zwei vollkommen verschiedene Funktionen erhalten. Eine an der x-Achse gespiegelte Funktion hat beispielsweise den gleichen Flächeninhalt (hier würde man allerdings am Vorzeichen erkennen, dass dies keine Annäherung sein kann). Man kann auch eine Funktion konstruieren, die den gleichen (positiven) Flächeninhalt hat, aber aufgrund hoher Ausschläge/Schwankungen deutlich vom Ursprungsgraphen abweicht.

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