anwendung der radiokarbonmethode

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2 Antworten

Es wäre ja gut zu wissen, wie sich man das Gesetz abgeleitet wird, so dass Du besser verstehen und am besten mit den Formeln umgehen kannst, so dass wenn etwas leicht geändert wird, wie ein Symbol oder eine Konstante, oder … Du dich schnell mit den neuen Daten umgehen kannst.

Nun die Einführung erklärt das im Durchschnitt, für kleine Zeitdauer, werden ein Anteil von λ·∂t der Stoff zerfallen. Man bezeichnet mit n(t) (manchmal auch N(t) oder Q(t)=Quantität, usw.) die Anzahl oder das Maß von Material die um Zeitpunkt t erhaltet ist. Also ein Anteil λ·∂t von n(t) wäre λ·n(t)·∂t von dem Material, die innerhalb einer Zeitdauer ∂t zerfällt.

Das heißt n(t+∂t) = n(t) – λ·n(t)·∂t, oder: ∂n(t) = –λ·n(t)·∂t.

Dies ergibt die Differentialgleichung dn/dt = –λ·n. Und man löst sie nun mithilfe eines Integrals:

  • dn/dt = –λ·n genau dann wenn
  • dt / dn = –1 / λ·n genau dann wenn
  • t = ∫ –1 / λ·n dn genau dann wenn
  • t = –(1 / λ) ·Log(n) + KONST genau dann wenn
  • Log(n) = –λ·t + KONST' genau dann wenn
  • n = exp(–λ·t + KONST') = exp(KONST')·exp(–λ·t) = KONST''·exp(–λ·t)
  • Bei t = 0, rechnet man n(0) = KONST''·exp(0)=KONST''·1, also KONST''=n(0).

Somit kommt man aufs Ergebnis: n(t) = n(0)·exp(–λ·t).

Man man dann weiter um die Konstante λ in Verhältnis mit der Halbwertszeit zu bringen, was, so weit ich kriege, Du schon verstehst.

Hoffentlich hilft die obige Rechnung.

Der mathematische Zusammenhang ist künstlich verkompliziert dargestellt und außerdem sind noch Form- und Rundungsfehler enthalten.

Der Zusammenhang ist so simpel, dass man auf einen Nährungswert in Sekunden per Kopfrechnen kommt.

Das C14 hat sich im Beipsiel auf 1/100 seiner Ursprungsmenge reduziert, dafür muss es sich knapp 7 mal halbiert haben, 7 mal die Habwertzeit (Zeit in der sich die Menge halbiert) ergibt ca. 40.000 Jahre minus hier ca. 5% (weil Anzahl der Halbierungen etwas < 7) mach dann über den Daumen rund 38.000 Jahre.

Zur exakten Berechnung benötigst Du den Logarithmus um folgende Gleichung nach x aufzulösen.

0,01=0,5^x (ergibt sich auf der allg. Form einer Exponentialfunktion bzw. aus der Zinseszinzformel)

Nun einfach auf beiden Seiten logarithmieren um das x aus dem Exponeneten zu bekommen.

lg(0,01)=x * lg(0,5)

x=lg(0,01) / lg(0,5)=-2 / lg(0,5)

Nun den Wert für x mit der Halbwertzeit von 5730 Jahren multiplizieren, das ergibt dann mit geringerem Rundungsfehler als angegeben rund 38.069 Jahre.

Das war's dann auch schon, dafür braucht man weder Diffrentialgleichungen noch Integrale und Unmengen an Variablen.

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