Ansatz einer Aufgabe: Wieso nimmt man die Standardabweichung geteilt durch 5?

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1 Antwort

Sei N = #der Wiederholungen = 25.

Die Zufallsgröße = Mittelwert von N Runden = ∑ X[i] / N, wobei die X[i] N paarweise unabhängig und (wie z. B. eine Zufallsvariable, X) identisch verteilt sind.

Es gilt:

  • E(∑ X[i] / N) = E(X) = 27,5
  • Var(∑ X[i] / N) = Var(X) / N
    • also, σ(∑ X[i] / N) = σ(X) / √N = 6,42 / √25
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Kommentar von kreisfoermig
13.03.2014, 13:44

Hierbei hat die erste »5«, die in »die Zufallsgröße X = Summe der 5 Nummern« erwähnt wird, nichts damit zu tun.

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Kommentar von kreisfoermig
13.03.2014, 13:59

Um σ(∑ X[i] / N) = σ(X) / √N zu begründen… (ich habe zu viel angenommen: man braucht nur unkorrelierte Variable zu betrachten)

Behauptung. Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y), falls X, Y unkorreliert sind.

Beweis. Var(X+Y) = E(||X+Y–E(X+Y)||²) = E(||X+Y–(E(X)+E(Y))||²) = E(||U+V||²), wobei U=X–E(X) und V=Y–E(Y). Es gilt:

  • E(||U+V||²)
    • = E(||U||² + ||V||² + 2·Re{U; V})
    • = E(||U||²) + E(||V||²) + 2·Re E({U; V})

Es gilt E(||U||²) = E(||X–E(X)||²) = Var(X) und E(||V||²) = Var(Y) ähnlich. Wegen Unkorreliertheit gilt E({U; V}) = E({X–E(X); Y–E(Y)}) = Cov(X; Y) = 0.

Daraus ergibt sich:

  • Var(X+Y) = E(||U+V||²) = Var(X) + Var(Y) + 0

Q.e.d.

Folgerung. Daraus ergibt sich per Induktion:

  • Var(∑X[i]) = ∑Var(X[i]) = N·Var(X), und mithin
  • Var(∑X[i] / N) = Var(∑X[i]) / N² = N·Var(X) / N² = Var(X) / N,

falls X[i] ~ für alle i = 0 bis N–1 und die X[i] paarweise unabhängig sind.

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