Anhand von Tabellen Term herausfinden?

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1 Antwort

Hallo,

da drei Punkte gegeben sind, kannst Du damit eine Parabel, also eine Funktion zweiten Grades bestimmen. Die hat die allgemeine Form

ax²+bx+c

Wenn Du für x nun die gegebenen Werte 1, 2 und 3 eingibst, bekommst Du drei Gleichungen.

Für x=1 muß 3 herauskommen, also:

a+b+c=3

Für x=2 lautet der Funktionswert 10, also:

4a+2b+c=10

Für x=3 kommt schließlich 21 heraus:

9a+3b+c=21

Diese drei Gleichungen bilden ein System, das Du nach den bekannten Verfahren lösen kannst (Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren, Gauss-Verfahren etc.)

Du kannst auch mit Taylor-Polynomen arbeiten, indem Du a, b und c nach und nach den Gegebenheiten anpaßt.

Der erste Schritt ist c=3 (c entspricht hierbei immer dem Funktionswert des ersten Punktes).

Die nächste Gleichung lautet dann 3+(2-1)b=10

In der Klammer wird der erste x-Wert vom zweiten abgezogen und das Ganze mit b multipliziert. 

Hinter dem Gleichheitszeichen steht dann der Funktionswert des zweiten Punktes.

3+1*b=10, also: b=7

Dritter und letzter Schritt:

3+(3-1)*7+(3-1)*(3-2)*a=21

Für b setzt Du 7 ein - den Wert also, den Du vorher berechnet hast.

In der Klammer vor dem b ziehst Du nun den x-Wert des ersten Punktes vom x-Wert des dritten Punktes ab, deshalb (3-1)*7

Vor das a kommt außer der Klammer, die nun vor dem b steht, noch der Term (3-2) als Faktor hinzu.,

Du ziehst also auch noch den zweiten x-Wert vom dritten ab.

Nun klammerst Du alles aus, faßt zusammen und berechnest a:

17+2a=21

2a=4

a=2

Nun setzt Du die Werte für a, b und c in folgende Gleichung ein:

2*(x-2)*(x-1)+7*(x-1)+3=f(x)

Ausklammern:

2*(x²-3x+2)+7x-7+3=f(x)

2x²-6x+4+7x-4=f(x)

f(x)=2x²+x

Auf diese Weise kannst Du beliebige ganzrationale Funktionen berechnen.

Welchen Grades sie sind, hängt von der Zahl der gegebenen Punkte ab.

Für eine Funktion dritten Grades brauchst Du 3+1=4 Punkte usw.

Dabei wird der Schwanz aus Termen immer länger.

Bei einer Funktion dritten Grades hast Du a, b, c und d zu berechnen.

Du kommst dann auf die Form
a*(x-x3)*(x-x2)*(x-x1)+b*(x-x2)*(x-x1)+c*(x-x1)+d, die Du wieder entsprechend umformen mußt.

Wenn Du Dich an dieses Verfahren gewöhnt hast, ist es eine echte Alternative zu den Gleichungssystemen. Du mußt nur konsequent Schritt für Schritt vorgehen.

Herzliche Grüße,

Willy


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