Anhand der Extrem - und Nullstellen den Funktionsgrad erkennen?

5 Antworten

Nehmen wir mal eine Funktion 2. Grades. Das ist ja quasi nur ein Bogen und hat dementsprechend nur einen Extrempunkt. Eine Funktion 3. Grades hat zwei Extrempunkte u.s.w.

Aber das man anhand der Nullstellen eine Funktion erkennen kann, ist mir neu. Zum Beispiel eine Funktion 2. Grades kann ja 0, 1 oder 2 Nullstellen haben. Eine Funktion 3. Grades kann 1, 2 oder 3 Nullstellen haben.... Also kann man daran nicht genau sagen, um welche Funktion es sich handelt.

Ich ergänze mal die Antwort von volens:

Beispiel: am Graphen erkennst Du 3 relative Extremstellen (Hoch-, Tiefpunkte). Dann weißt Du, dass die erste Ableitung (mindestens) 3 Nullstellen besitzen muss (notwendige Bedingung für lokal Extrema).Demnach muss die erste Ableitung eine Funktion mindestens vom Grad 3 sein.

Also muss deren Stammfunktion (in diesem Fall also Deine Originalfunktion f), mindestens den Grad 4 haben.

Ähnlich kannst Du mit Wendestellen argumentieren.

Woher ich das weiß:Beruf – Mathestudium

An der Zeichnung kannst du es erkennen, wenn du zwei- oder dreipunktige Berührungen interpretieren kannst. Sollten Nullstellen nicht reell sein, wird es sehr schwierig.

Besser ist es, sich die Funktion anzugucken. Die höchste x-Potenz ist ihr Grad, also für
f(x) = 2x⁶ + 3x⁴ - 27416
ist der Grad gleich 6.

Trotzdem kann man nur die maximale Zahl von exponierten Stellen angeben.

Eine Potenzfunktion hat maximal die Anzahl von Nullstellen, die der Grad angibt.
Maximale Anzahl von Extremwerten: Grad - 1.
Maximale Anzahl von Wendpunkten: Grad - 2.

Andere Funktionen erfordern weitere Überlegungen.

Unsere Beispielfunktion hätte daher maximal 6 Nullstellen, 5 Extremwerte und 4 Wendepunkte. (In Wirklichkeit sind es weniger.)

Woher ich das weiß:Eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Schau dir an, an wie vielen Stellen der Graph die x-Achse schneidet, dann weißt du wie viele Nullstellen er hat. In der Schule stimmt auch meistens der Grad der Funktion mit der Anzahl der Nullstellen überein. Die Extremstellen sind einfach die lokalen Maxima/Minima.

Wenn es sich um Funktionen im Bereich des Abiturwissens handelt, ist das recht übersichtlich.

Ich lese "welchen Grad die Funktion..." also Polynom-Funktionen gemeint.

Gerade oder ungerade Funktion: Das Verhalten gegen + und das gegen - Unendlich.

Wendepunkte: gerade Funktionen haben eine ungerade Zahl von Wendepunkten, Ungerade Funktionen ein gerade Zahl von Wendepunkten.

Sattelunkte... usw.

Die Nullstellen sagen nichts zum Grad dieser Funktionen aus. Näheres lehrt die Differentialrechnung.

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