Wie gubt man eine ganzrationale Funktion dritten grades mit angegebenen nullstellen auf?

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Wenn die Nullstellen gegeben sind, kann man immer eine Funktion finden, die diese Nullstellen hat, indem man die "Linearfaktoren" miteinander multipliziert. Ein Linearfaktor ist dabei jeweils (x - Nullstelle).

In Deinem Fall also f(x) = (x-0) * (x-2) * (x-5) - wobei (x-0) natürlich auch einfach als x geschrieben werden kann -, ausmultipliziert f(x) = x^3 - 7x^2 + 10x.

Eine zweite Funktion mit den gleichen Nullstellen erhältst Du, indem Du das Ganze einfach mit einer beliebigen Zahl multiplizierst (d. h. den Funktionsgraphen streckst oder stauchst), z. B. mit 2, das gibt f(x) = 2x^3 - 14x^2 + 20x


Wäre eine Funktion höheren Grades gesucht, könntest Du einfach einen der Linearfaktoren mehrfach in die Multiplikation einbeziehen, also z. B. für eine Funktion 4. Grades f(x) = (x-0) * (x-2) * (x-5) * (x-5) oder f(x) = (x-0) * (x-2) * (x-2) * (x-5) oder f(x) = (x-0) * (x-0) * (x-2) * (x-5)

Die Funktion x * (x-2) * (x-5) =x³ - 7x² + 10x hat die angegebenen Nullstellen. Multipliziert man diese Funktion mit einer Konstante ungleich 0, so hat diese Funktion ebenfalls die Nullstellen 0; 2; 5 .

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