Anfangswertproblem lösen (Differentialgleichung)?

1 Antwort

  Antwort auf deine erste Frage; siehste doch. Du hast eine ===> gewöhnliche ===> homogene ===> lineare DGL mit konstanten Koeffizienten. In der Regel lassen sich die mit dem e-Ansatz lösen. dies äußert sich darin, dass du eine algebraische Beding bekommst. die Lambda stellen sich heraus als Wurzeln eines Polynoms ( hier ) 4. Grades ( weil die DGL von 4. Ordnung ist. )

    An dieser Stelle möchte ich nochmal auf einen Lehrsatz aus der AGULA verweisen, der allgemein gilt. Die Lösung eines homogenen LGS ( ===> Kern ) ist immer ein Vektorraum. Das gilt auch für ein ( System von ) DGL . Dem genäß setzen wir die allgemeine Lösung aus den 4 Basislösungen zusammen; ihre Amplituden bzw. Koeffizienten nenne ich A1;2;3;4 analog der Reihenfolge deiner Wurzeln.

   Zur Sicherheit schicke ich erst mal ab, weil dieser Editor nur in Kommentaren stabil läuft; es folgt aber noch eine Ergänzung Teil 2 .

  f ( t ) = A1 exp ( i t ) + A2 exp ( - i t ) + A3 exp [ t sqr ( 3 ) ] + A4 exp [ - t sqr ( 3 ) ]      (  1a  )

  f ' ( t ) = i A1 exp ( i t ) - i A2 exp ( - i t ) + A3 sqr ( 3 ) exp [ t sqr ( 3 ) ] - A4 sqr ( 3 ) exp [ - t sqr ( 3 ) ]      (  1b  )

  f " ( t ) = - A1 exp ( i t ) - A2 exp ( - i t ) + 3 A3 exp [ t sqr ( 3 ) ] + 3 A4 exp [ - t sqr ( 3 ) ]     (  1c  )

  f(³)  ( t ) = - i A1 exp ( i t ) + i A2 exp ( - i t ) + 3 A3 sqr ( 3 ) exp [ t sqr ( 3 ) ] - 3 A4 sqr ( 3 ) exp [ - t sqr ( 3 ) ]      (  1d  )

  Ich setze jetzt deine randbedingungen ein für t = 0

       A1 +  A2 +       A3               +      A4                 =   0               (  2a  )

     i A1 - i A2 +      A3 sqr ( 3 )  -        A4 sqr ( 3 )    =  1             (  2b  )

    - A1 -  A2   + 3  A3               + 3    A4                =   0               (  2c  )

  - i A1 + i A2 + 3  A3 sqr ( 3 )  -  3    A4 sqr ( 3 )    =  1               (  2d  )

      ( 2a-d ) gehen aber sehr schnell zu lösen. Additionsverfahren ( 2a ) + ( 2c )

           A3  +  A4  =  0       (  3a  )

    Additionsverfahren ( 2b ) + ( 2d )

       A3  -  A4  =  1 /  [  2  sqr  (  3  )  ]          (  3b  )

   Es ist uns also gelungen, A1;2 zu eliminieren.  ( 3ab ) ist der Prototyp eines LGS ; die Lösung ist immer die selbe.

     A3  =  Mittelwert rechte Seiten =  1 / [  4  sqr  (  3  )  ]         (  4a  ) 

     A4  =  halbe Differenz  =  -  1 / [  4  sqr  (  3  )  ]              (  4b  )

   Die Ergebnisse ( 4ab ) füttern wir ein in ( 2ab )

   A1  +  A2  =  0      (  5a  )

   A1  -  A2  =    +/- 1 / ( 2 i )      (  5b  )

     A1;2  =   +/-  1 / ( 4 i )          (  6  )

   Zum Schluss ( 4ab;5ab ) einsetzen in den Ansatz  ( 1a )

    f  (  t  )  =  1/2  sin  (  t  )  +  1 / [  4  sqr  (  3  )  ]  [  exp  t sqr ( 3 ) - exp  - t sqr ( 3 ) ]      (  7a  )

   Ich mach grad noch die Probe, damit ich euch nix Falsches erzähle; Aktion Emil.

  " Gäben Sie mir einen Funkch; es intressiert mich persönlich. "

      f  '  (  t  )  =  1/2  cos  (  t  )  +  1/4  [  exp  t sqr ( 3 )  +  exp  - t sqr ( 3 ) ]           (  7b  )

    f  "  (  t  )  =  -  1/2  sin  (  t  )  +  1/4  sqr  (  3  )  [  exp  t sqr ( 3 ) - exp  - t sqr ( 3 ) ]      (  7c  )

     f(³)  (  t  )  =  -  1/2  cos  (  t  )  +  3/4  [  exp  t sqr ( 3 )  +  exp  - t sqr ( 3 ) ]           (  7d  )

     Es erfeben sich folgende Randwerte

      f  (  0  )          =     1/2  *   0  +  1 / [  4  sqr  (  3  )  ]  (  1  -  1   )  =  0       (  8a  )     ;  ok

    

       f  '  (  0  )      =     1/2  *  1  +  1/4                            (  1  +  1  )  =  1      (  8b  )     ;    ok

       f  "  (  0  )     =  -  1/2  *   0  +  1/4  sqr  (  3  )  (  1  -  1   )  =  0            (  8c  )     ;  ok

    

       f(³)  (  0  )     =  -  1/2  *  1  +  3/4                     (  1  +  1  )  =  1          (  8d  )     ;  ok 

0

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