Allgemeine Vorgehensweise für Grenzwertberechnung

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Konkretes Beispiel wäre hier nicht schlecht...

Ansonsten die Theorie der Grenzwertbildung Schritt für Schritt durcharbeiten. Ist zwar trocken, aber nötig fürs Verständnis.

Was ist denn die Theorie der Grenzwertbildung? Ich weiß was ein Grenzwert ist aber was so im allgemeinen zBsp mein ziel bei der Umformung sein soll ist mir nicht bekannt^^

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@Dickmolch

Also diese Theorie müsste ja eigentlich in der Schule besprochen worden sein. Ansonsten kann man nämlich keine Aufgaben rechnen, wenn man die dahinterstehende Theorie nicht kennt.

Betrachte mal folgende Folge:

x_n:=(1+ 1/n)^n

Diese Folge konvergiert gegen die Eulersche Zahl e.

Die Zahl e ist ungefähr 2.718281...

Man betrachtet Grenzwerte deshalb, weil man exakte Werte für Folgen, die gegen unendlich gehen, angeben will.

Mal was anderes:

Betrachte

lim (x²+3x+1)/(x+2) für x gegen 0.

Was meinst du, ist der Grenzwert dieser Folge? Er ist 1/2.

Wie rechnet man sowas aus?

Ganz einfach: Lasse im Zähler und Nenner x gegen 0 gehen. Dann bleibt im Zähler noch 1 übrig und im Nenner 2, also ist der Grenzwert 1/2.

Wenn du selbst ne Aufgabe hast, die du nicht lösen kannst, dann stell sie einfach hier rein und wir können das durchgehen.

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@CrazyDog23

Zbsp. lim x-->0 (1-exp(-x^2))/0,5x Wie gehe ich da am bessten vor?

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@Dickmolch

Da wendet man die Regel von L'Hospital an, das geht, weil lim x-->0 (exp(-x²))=1 ist und daher sowohl Nenner als auch Zähler gegen 0 gehen.

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@CrazyDog23

also nähert sich das ganze null an? was währe dann der Grenzwert wenn im Zähler (2-exp(-x^2)) stehen würde?

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@Dickmolch

Ja, der Grenzwert ist null. Korrekte Berechnung wie gesagt über Anwendung der Regel von L'Hospital. Wenn im Zähler (2-exp(-x^2)) stehen würde, dann wäre der Grenzwert unendlich. Dann kann man L'Hospital natürlich nicht mehr anwenden, weil die Voraussetzungen nicht mehr erfüllt wären.

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Es kommt sehr drauf an, was Dein Vorwissen und um welche Probleme es geht.

Wenn es um rationale ("Bruch"-)Funktionen geht:

Für's unendliche: Man erweitert die Brüche so, dass überall die gegen unendlich strebende Variable mit größerer Potenz im Nenner steht. Dann kann man den jeweiligen Bruch durch 0 ersetzen (weil 1/x für x-->unendlich gegen 0 geht). Beispiel: Was ist der lim-->oo von (3x²+4)/(6x²-5x)?

Wir erweitern oben und unten mit 1/x²: Das ergibt

(3x²+4)/x² / (6x²-5x)/x² =

(3 + 4/x²) / (6 - 5/x)

Siehst Du, wie die x-Variablen durch das erweitern mit 1/x² nun nur mehr in Nennern stehen? Der Limes-->oo führt nun dazu, dass 4/x² und 5/x nach 0 gehen; und "im Unendlichen" bleibt nur mehr 3 / 6 übrig, also 1/2.

"An gewissen Stellen": Wenn die "gewisse Stelle" z.B. den festen Wert k hat, dann wird (x - k) gegen 0 gehen, wenn der lim x-->k zu berechnen ist. Also muss man die Funktion so umbauen, dass alle x-Variablen in Termen der Form x-k vorkommt; und dann lässt man x-k einfach verschwinden. Beispiel: lim x-->3 [ (x²-9) / (x-3) ]. Freundlicherweise steht im Nenner schon x-3; unfreundlicherweise darf man duch 0 nicht dividieren. Also zerlegen wir den Zähler: x²-9 = (x-3) * (x+3). Damit ist (x²-9) / (x-3) = (x-3) * (x+3) / (x-3) = (kürzen!) x + 3. Wenn nun x-->3 geht, dann geht x+3 gegen 6.

Das war nur ein kleiner Anfang ... vielleicht hilft's Dir!

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