Alle natürlichen Zahlen die nicht durch 5 teilbar sind?

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7 Antworten

Wenn du eine Formel suchst, dann ist
5n+k, n € N0, k € N, k < 5 richtig.
n muss bei 0 anfangen, sonst fehlen 1,2,3,4 .

Ansonsten wäre der Verwendungszweck hilfreich.

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kaiuwe97 01.12.2016, 16:21

Verwendungszweck:

Zeigen Sie durch indirekte Schlussweise: Ist das Quadrat einer natürlichen Zahl durch

5 teilbar, so ist die Zahl selbst durch 5 teilbar.

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undNichtAnders 01.12.2016, 16:24
@kaiuwe97

Ach so, es soll

"zahl nicht teilbar" => "quadrat nicht teilbar"

gezeigt werden?

Naja (5n+k)(5n+k) = ... usw.  Hmm, müsste gehen.


ja, und k^2 ist dann nicht durch 5 teilbar.

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kaiuwe97 01.12.2016, 16:49
@undNichtAnders

Hm, ich dachte beim indirekten Beweis läuft es auf einen Wiederspruch hinaus. Also ich behaupte etwas falsches und beweise das es falsch ist?

Ich verstehe den Ansatz leider nicht so richtig. Kannst du den rechten Teil bitte noch ergänzen?

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undNichtAnders 01.12.2016, 16:54
@kaiuwe97

Das Quadrat einer nicht durch 5 teilbaren Zahl ist nach deiner Formel

(5n+k)(5n+k) = 25n^2+10kn+k^2

die ersten 2 Summanden sind durch 5 teilbar, aber der letzte nicht, weil k=1,2,3,4 ist und daher k^2=1,4,9,16

Die ganze Chose ist also nicht durch 5 teilbar.


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kaiuwe97 01.12.2016, 17:09
@undNichtAnders

Vielen Dank, jetzt ist alles klar!,

Kurze  Verständnisfrage noch... Weil der indirekte Beweis in meiner Vorlesung etwas anders erklärt wurde. Ist folgendes Richtig: Für den indirekten Beweis nimmt man das logische Gegenteil einer Aussage an und findet ein Widerspruchen. Also in diesem Beispiel: Es wird behauptet: Wenn p^2 durch 5 teilbar ist, dann ist auch p durch 5 teilbar. Zum Beweis behauptet man nun das logische Gegenteil, also: Wenn p^2 durch 5 teilbar ist, dann ist p nicht durch 5 teilbar!

Man nimmt also an p = 5n + k .

D.h (5n+k)^2 müsste durch 5 teilbar sein. Ist es aber wie von dir gezeigt nicht. => Widerspruch

Stimmt das? Nur um die logik des indirketen Beweises zu verstehen.

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undNichtAnders 01.12.2016, 17:20
@kaiuwe97

Genau genommen habe ich den Beweis etwas ungenau durchgeführt.
Korrekt ist tatsächlich das Gegenteil zu behaupten.
Ich behaupte:
Wenn Quadrat teilbar, dann Zahl nicht teilbar.

Das bedeutet ich kann das Quadrat so schreiben:
z*z=5*v und meine Zahl z=(5n+k), also

25n^2+10kn+k^2 = 5*v
k^2 = 5*v - 25n^2 -10kn
Die ganze rechte Seite ist durch 5 teilbar,
das bedeutet, k^2 ist durch 5 teilbar.
Aber das geht nicht, weil ja k^2 = 1,4,9,16
Widerspruch gefunden. Behauptung war falsch.

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Da bei deinen Tags "Informatik" steht, gebe ich einfach mal folgende Antwort:

Alle X € N, für die gilt: X % 5 > 0

Abhängig von der Programmiersprache ändert sich natürlich die Syntax. Zentrales Element ist eben der "Modulo-Operator" %

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n ≠ 0 würde ich in beiden Fällen nicht fordern. Erstens ist 0 durch 5 teilbar und (noch schlimmer) zweitens würdest du mit 5n + k sonst die Zahlen 1 bis 4 nicht erreichen.

5n + k mit 0 < k < 5 könnte man schreiben. Falls du mit Restklassen vertraut bist, kannst du auch die Ungleichung n ≠ 0 mod 5 benutzen.

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kaiuwe97 01.12.2016, 16:19

Hi danke für die Antwort, Ich fürchte wenn ich die Formel mit mod benutze kann ich den zweiten Teil der Aufgabe nicht lösen:

Zeigen Sie durch indirekte Schlussweise: Ist das Quadrat einer natürlichen Zahl durch

5 teilbar, so ist die Zahl selbst durch 5 teilbar.

oder?

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Melvissimo 01.12.2016, 16:21
@kaiuwe97

Gut, du kannst natürlich einfach (5n + 1)², (5n + 2)² etc ausrechnen. Aber das ist hier prinzipiell dasselbe, als würdest du 

1² mod 5, 2² mod 5 etc ausrechnen.

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kaiuwe97 01.12.2016, 16:24
@Melvissimo

Und für den indirekten Beweis müsste ich jetzt die Aussage, wenn das Quadrat einer natürlichen Zahl durch fünf teilbar ist, ist es die Zahl selbst nicht widerlegen, oder?

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Melvissimo 01.12.2016, 16:26
@kaiuwe97

Du willst eine Aussage der Form "A => B" beweisen. Der indirekte Beweis zeigt nun die äquivalente Aussage "nicht B => nicht A".

Du willst also zeigen: Wenn n nicht durch 5 teilbar ist, dann ist auch n² nicht durch 5 teilbar.

0

0 ≡ n mod 5 ← Alle durch 5 teilbaren Zahlen
0 ≢ n mod 5 ← Alle Zahlen, die nicht durch 5 teilbar sind

Das erste lässt sich schreiben als k * 5 + 0 = n, das zweite als k * 5 + 0 ≠ n.

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aufrunden(n/5) ist ungleich abrunden(n/5) und n ist Element der natürlichen Zahlen.

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Das kannst du mit dem Modulo Zeichen machen. Das berechnet den Rest. Z.B.
Int rest = deineZahl%5
If (rest>0) {
Deine Funktion
}
Else {
Wenn die Zahl nicht durch 5 teilbar ist...
}

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Ich würde das so schreiben:

n=ℕ; n≠n₅

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