ALLE BRÜCHE auflisten/ordnen/beschreiben können

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1 Antwort

Habe aber keine Ahnung wie das gehen soll, da die rationalen Zahlen ja unendlich sind und im Nenner sowie im Zähler unendlich viele stehen können.

Da hast du recht. Da es unendlich viele sind, kann man keine fertige Liste hinschreiben. Aber du kennst doch die Pünktchen "…".

Wenn man dir sagt, du sollst mal eine Liste der natürlichen Zahlen hinschreiben, dann würdest wahrscheinlich sowas hinschreiben:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …
Mit den Pünktchen, was soviel heißt wie "unendlich so weiter". Sowas könnte man auch mit Brüchen machen.

  • Nenner=1: 1/1
  • Nenner=2: 1/2, 2/2
  • Nenner=3: 1/3, 2/3, 3/3
  • Nenner=4: 1/4, 2/4, 3/4, 4/4

Und so weiter. So geht es. Einziger Nachteil dieser Liste ist halt, dass man da rationale Zahlen mehrfach drin hat, weil ja zB 2/4=1/2. Viele könnte man kürzen. Aber immerhin: Es ist eine Liste, und jeder Bruch kommt drin vor.

Melvissimo 21.08.2012, 02:56

Ich muss dazu wohl noch eine Ergänzung machen. Diese Erläuterung ist zwar verständlich, aber sie enthält einen Schönheitsfehler. Wir haben ja stets die Form

  • Nenner = n: 1/n, ... , n / n.

Damit sind aber nur Brüche des Intervalls (0, 1] enthalten. Anders ausgedrückt: Diese Brüche werden nie größer als 1 und sind immer größer als 0. Aber es gibt ja auch Brüche, die nicht in diesem Intervall liegen, z.B. 4/2.

Für das erste Problem gibt es eine einfache Lösung. Wir zählen nicht "nur" bis n/n durch, sondern darüber hinaus, ebenfalls mit der Pünktchenschreibweise. Beispiel:

  • Nenner = 2: 0/2, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2...

Da ich im Zähler die 0 zugelassen hab, sind damit alle nicht-negativen Brüche direkt enthalten... Für die negativen muss man wohl etwas weitergehen und auch noch negative Nenner zulassen:

  • Nenner = 1: ...

  • Nenner = -1: ...

  • Nenner = 2: ...

  • Nenner = -2: ...

Hierbei bleibt der Zähler aber immer nicht-negativ.

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