Algebraische Gleichungen. Erklärung - Plus, Minus?

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2 Antworten

3x - 12 = 321 - (32x + 96) + 17   

Ein "-" vor einer Zahl oder einer Klammer kommt der Multplikation mit (-1) gleich, es folgt also als äquivalenter, gleichwertiger, Ausdruck:

3x + (-1)*12 = 321 + (-1)*(32x + 96) + 17

Durch Anwenden des Distributivgesetzes:

a*(b+c) = a*b + a*c

folgt:

3x + (-1)*12 = 321 + (-1)*32x + (-1)*96 + 17

Wir ersetzen nun das *(-1) wieder durch ein einfaches "-" und erhalten:

3x - 12 = 321 - 32x - 96 + 17

Ausgerechnet ergibt dies:

3x - 12 = -32x + 242  II +12 

3x = -32x + 254   II +32x

35x = 254   II *1/35

x = 7,257   (Die erste Lösung ist übrigens numerisch falsch !!!)

Du könntest jetzt jedesmal das mit der *(-1) Geschichte machen, aber einfacher ist es sich die praktischen Konsequenzen anzuschauen. Schauen wir uns einfach mal Folgendes an:

(-1)*(a + b - c) = (-1)*a + (-1)*b + (-1)*(-1)*c

= -a - b + c

Durch einen direkten Vergleich von:

-(a + b - c) und ( -a - b + c) stellen wir fest, dass sich einfach die Vorzeichen vor den einzelnen Summanden umgekehrt haben. Und das ist es auch was man dann einfach in der Praxis dann macht, man kehrt einfach die Vorzeichen aller Summanden innerhalb der Klammer um, so wird ein "+" zu "-" und ein "-" zu "+". Das wäre dann schon der ganze Trick.

Also nochmal am letzen Beispiel:

1,7x - 27 - 1,2x = 3 - 2,5x  II +2,5x

4,2x - 27 - 1,2x = 3  II +27

3x = 30       II *(1/3)

x = 10
(hier war es allerdings nicht nötig)

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3x - 12 = 321 - 32x - 96 + 17 | +32x & + 12

3x + 32x = 321 - 96 + 17 + 12

1,7x - 27 - 1,2x = 3 - 2,5x | +2,5x & +27

1,7x - 1,2x + 2,5x = 3 + 27

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