Affine Transformation eines Vierecks, ich komme leider nicht mehr weiter...

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4 Antworten

Ich kann wohl die Aufgabe a) über Homogenisierung lösen, benötige allerdings drei Punkte dafür. - Schreibweisen:

  • Matrix A mit Koordinaten aij, wobei i Zeilenindex, j Spaltenindex
  • "a11 0" bedeutet "Koordinate a11 mal 0" usw.

Zur Homogenisierung bekommen diePunkte eine dritte Koordinate "1". Ich wähle die Reihenfolge der Gleichungen so, dass das System mit dem Gauß'schen Verfahren günstig zu lösen ist.

(A|v) s = s0 ergibt in Koordinaten:

  • a11 4 + a12 0 + v1 1 = 1;
  • a21 4 + a22 0 + v2 1 = 1;

. . .

(A|v) p = p0 ergibt in Koordinaten:

  • a11 0 + a12 2 + v1 1 = 3;
  • a21 0 + a22 2 + v2 1 = 5;

. . .

(A|v) q = q0 ergibt in Koordinaten:

  • a11 2 + a12 4 + v1 1 = 5;
  • a21 2 + a22 4 + v2 1 = 3;

. . .

Die Lösung des Systems aus den jeweils ersten Gleichungen ergibt:

a11 = 0, a12 = 1, v1 = 1

Die Lösung des Systems aus den jeweils zweiten Gleichungen ergibt:

a21 = -1, a12 = 0, v1 = 5

. . .

Aus der Matrix ist abzulesen: Die Abbildung ist wegen

  • cos (-90°) = 0 = a11
  • sin (-90°) = -1 = a21
  • -sin (-90°) = 1= a12
  • cos (-90°) = 0 = a12

eine Drehung um -90°, also im Uhrzeigersinn, um den Koordinatenursprung mit anschließender Verschiebung um den Vektor v = (1 5).

. . .

Probe mit dem nicht verwendeten Punkt R (6 | 4):

A r + v = (4 -6) + (1 5) = (5 -1); dies sind die Koordinaten von R0 (o.k.)

Ich löse (b)) mal so, wie ich kann. Was dieses Drei-Schritt-Verfahren sein soll, kann ich nicht enträtseln. Ein Produkt "T(-u1, -u2) A T(u1, u2)" ist jedenfalls nicht definiert.


Wenn du aus (a) weißt, dass die Abbildung eine Drehung ist, die (genau) den Drehpunkt als Fixpunkt F hat, kannst Du F mit Ortsvektor f = (u1 u2) mit der Matrix A der Drehung herausbekommen, denn in diesem Fall gilt für eine beliebige Punkt t und seinen Bildpunkt t0:

A(t -f) = t0 - f.

Mit t = q und t0 = q0 entsteht das Gleichungssystem

  • 4 - u2 = 5 - u1
  • -2 + u1 = 3 - u2

mit der Lösung u1 = 3, u2 = 2; also ist der Fixpunkt F( 3 | 2 ).


Wenn du nur A hast, aber nicht den Verschiebvektor, dient zur Bestimmung aller Fixelemente der allgemeinere Ansatz mit der (homogenisierte) Matrix M. Diese hat die Form

  • 0 1 u1
  • -1 0 u2
  • 0 0 1

und bildet mit den projektiven Punkt Q (2λ 4λ λ) in den Punkt Q0 (5µ 3µ µ) ab, also

M(Q) = Q0.

Das ergibt das Gleichungssystem

  • 4λ + u1λ = 5µ
  • -2λ + u2λ = 3µ
  • λ = µ

mit der Lösung u1 = 1, u2 = 5, also den gleichen Verschiebevektor wie zuvor in (a)

. . .

Zur Bestimmung der Fixelemente von M dient der Ansatz:

det(M - µE) = 0,

wobei E die 1-Matrix (der identischen Abbildung) ist. Entwicklung der Determinante nach der dritte Zeile führt zu

(1- µ)(µ² +1) = 0;

das heißt M hat die echt komplexen Eigenwerte ± i sowie +1 als einzige reellen Eigenwert. Einsetzen des reellen Eigenwerts ergibt die Matrix M - µE = M - E =

  • -1 1 1
  • -1 -1 5
  • 0 0 0;

die Eigenvektoren v , die die Gleichung

M(v) = µv ⇔ (M - µE)v = 0; (1)

erfüllen, haben mit Lösung des Gleichungssystems (1) die Form

v = (3λ, 2λ, λ).

Auch das heißt anschaulich, dass der Fixpunkt (3 | 2) von der affinen Transformation auf sich selbst abgebildet wird (und die Transformation keine weitere reellen Fixelemente hat, wohl aber weitere zu konjugiert komplexen Eigenwerten; so kommt dann "andersherum" heraus, dass die affine Transformation eine Drehung ist).

Alle Achtung, ich hatte die Aufgabe auch kurz vor Augen, mich aber in der Nacht nicht mehr drangetraut.

Vielen vielen vielen danke.

Hatte es auch so angefangen,aber da ich an mir zweifle,fahr ich dass es falsch ist... Du hast ja die komplette a) gemacht (: Danke dir dafür... Bei der b) hab ich auch nachgedacht aber ich bin mir nichts sicher :S b) Ich hab den Punkt Q (2,4) genommen. ( & Zeichen bedeutet untereinander :D )

T(-2,-4) -> x1 & x2 + (-2) &(-4) = x1-2 & x2-4 [das sind Vektoren und stehen eig untereinander]

-> [-1 0 & 0 1] (ist ne Matrix) * (x1-2 & x2-4) = (-x1+2 & x2-4)

Daraus folgt : (-x1+2 & x2-4) + (2&4) = (-x1+4 & x2)

Probe : (2&4) -> -2+4 & 4= (2&4)

Aber war das überhaupt gefragt?

Liebe Grüße suzi (:

psychironiker 03.07.2014, 19:59

Ich stelle deinen Rechenweg koordinatenfrei dar um zu verstehen, was du da überhaupt rechnest.


Du berechnest für die Vektoren t = (2 4) und x = (x1 x2) und eine Matrix A den Vektor

v [ = A(x + (-t)) + t ] = A(x -t) +t

und zeigst mit der Probe, dass v = t, wenn x = t.

Das ist aber auch ohne Rechnung mit Koordinaten klar, denn für eine beliebige Matrix A und einen beliebigen Vektor t gilt für x = t:

v = A(x -t) + t = A(t -t) +t = A(o) +t = o +t = t,

wobei o der Nullvektor ist.


Du wiesest sozusagen nach, dass du richtig rechnetest. Ich kann keinen Bezug zur gestellten Aufgabe herstellen.

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