Äquivalenzumfromungen

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3 Antworten

Eine Umformung der beiden Terme einer Gleichung ist dann eine Äquivalenzumformung (ÄU), wenn der Wahrheitswert der Aussage unverändert bleibt. Das ist dann der Fall, wenn die Gleichung nach der Umformung für dieselbe Variablenbelegung wahr ist, wie die ursprüngliche Gleichung.

Hilfreich ist es, sich die Gleichung wie eine Waage vorzustellen: Das was man mit dem Inhalt der linken Waagschalee anstellt, muss man auch mit dem Inhalt der rechten Waagschale machen, damit die Waage im Gleichgewicht bleibt.

Folgende Umformungen sind Äquivalenzumformungen:

( I ) Addition einer beliebigen Zahl auf beiden Seiten der Gleichung

( II ) Subtraktion einer beliebigen Zahl auf beiden Seiten der Gleichung

( III ) Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit derselben beliebigen Zahl außer der Null

( IV ) Division beider Seiten einer Gleichung durch dieselbe beliebige Zahl außer der Null

( V ) Jede Operation, die den Wert des Termes unverändert lässt (Ausmultiplizieren, Zusammenfassen, Klammernlösen), auch wenn sie nur auf einer Seite der Gleichung durchgeführt wird.

Keine Äquivalenzumformungen sind:

Multiplikation mit Null, Divison durch Null, Quadrieren einer oder beider Seiten, Operationen, die den Wert eines Termes verändern, wenn sie nur auf einer Seite der Gleichung durchgeführt werden.

a) Division durch Null -> keine ÄU

b) Durch Ausmultiplizieren eines Termes ändert sich der Wert eines Termes nicht ( Regel V ) -> ÄU

c) Jeweils nur einseitig durchgeführte, wertverändernde Operationen -> keine ÄU

d und e) Beide Terme sind weiterhin einander gleich (Regel III bzw. IV ) -> ÄU

f) Durch Zusammenfassen ändert sich der Wert eines Termes nicht ( Regel V ) -> ÄU

g) Jeweils nur einseitig durchgeführte, wertverändernde Operationen -> keine ÄU

h) Durch das Lösen von Klammern ändert sich der Wert eines Termes nicht ( Regel V ) -> ÄU

i) Nach dem Vertauschen sind die Werte der Terme weiterhin einander gleich ( Regel V ) -> ÄU

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äquivalenzumformungen sind diese umformungen, die du auf beiden seiten der gleichung machst. du darfst also nicht eine seite subtrahieren und die andere addieren. oder eine multiplizieren und die andere dividieren. äquivalenz bedeutet "gleichheit". auf beiden seiten neben dem gleichheitszeichen das gleiche zu machen. z.b. 1 = 1. eine äquivalenzumformung wäre auf beiden seiten +1 zu rechnen. die aussage bleibt immernoch WAHR. denn 1 = 1 und 1+1 = 1+1. wenn du aber auf einer seite 1 addieren und auf der anderen 1 subtrahieren würdest, wäre die aussage FALSCH, denn 1 + 1 = 1 - 1 ist FALSCH. das wäre also keine gültige äquivalenzumformung

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Kommentar von Thilo19872
15.03.2012, 13:47

hast dus jetzt verstanden?

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Äquivalenzumfromung sind solche, bei denen sich die Lösungsmenge der Gleichung nicht ändert. Und du kannst Äquivalenzumfromung "vorwärts" und "rückwärts" anwenden, dh jede Äquivalenzumfromung lässt sich durch die entgegengesetzte Umformung rückgängig machen (zB "durch 2" auf beiden Seiten wird rückgängig gemacht durch "mal 2" auf beiden Seiten).

a) Auf beiden Seiten der Gleichung drch 0 dividieren

Durch 0 darf man sowiweso nicht dividieren. Also erst recht keine Äquivalenzumfromung.

Auf der rechten Seite einer Gleichung ausmultiplizieren

Keine Äquivalenzumfromung. Man muss auf beiden Seiten mit derselben Zahl multiplizieren.

c) Auf der linken Seite der Gleichung 4 addieren, auf der rechten Seite 4 Subtrahieren

Keine Äquivalenzumfromung. Man muss auf beiden Seiten dasselbe rechnen.

d) Auf beiden Seiten einer Gleichung durch die Zahl 4 multiplizieren

Das ist eine Äquivalenzumfromung.

e) Auf beiden Seiten einer Gleichung durch die Zahl 2 dividieren

Das ist eine Äquivalenzumfromung.

f)Auf beiden Seiten Terme zsmnfassen

Verändert die Lösungsmenge nicht, also ist auch das eine Äquivalenzumfromung.

g) Auf einer Seite der Gleichung durch 3 dividieren, auf der anderen mit 3 multiplizieren

Keine Äquivalenzumfromung. Man muss auf beiden Seiten dasselbe machen.

h) Auf einer Seite ener Gleichung Klammern auflösen

Das darf man auf nur einer Seite machen. Es verändert die Lösungsmenge nicht, ist also eine Äquivalenzumfromung.

i) Die Seiten einer Gleichung vertauschen.

Das erändert die Lösungsmenge nicht, ist also eine Äquivalenzumfromung.

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Kommentar von juliee1997
15.03.2012, 14:06

Danke. :)

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Kommentar von Thilo19872
15.03.2012, 14:06

warum schreibst du die lösungen? dabei lernt doch niemand etwas

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Kommentar von JotEs
15.03.2012, 14:14

"Auf der rechten Seite einer Gleichung ausmultiplizieren"

Keine Äquivalenzumfromung. Man muss auf beiden Seiten mit derselben Zahl multiplizieren

Gemeint ist hier sicherlich das Ausmultiplizieren etwa einer Klammer, also z.B.

3 * ( x + 3 ) -> 3 * x + 9

nicht das Multiplizieren mit einer Zahl.

Da sich durch Ausmultiplizieren der Wert des Termes nicht verändert, handelt es sich dabei um eine Äquivalenzumformung.

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