Äquivalenz von Mengen, Aussage beweisen?

3 Antworten

Hallo Johannes, ich habe die Aussage bewiesen, siehe zwei Bilder. Da ich nicht weiß, wie ich die letzte Aussage durch Umformungen beweisen soll, habe ich sie per Wahrheitstabelle bewiesen, das ist auch erlaubt. Meine 3 Werkzeuge braucht man in vielen Mengenbeweisen, gut merken!

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Schau mal auf Youtube bei Prof Spannagel nach, der zeigt viele Mengenbeweise.

(Der Prof sieht wie ein Gothic oder Metall Typ aus.)

Nimm ein beliebiges a ∈ Z ∪ X. Unterscheide die Fälle a ∈ Z und a ∈ X \ Z.

Was ist, wenn X eine Teilmenge von Z ist, aber Z keine von Y. Dann ist die Aussage auf der rechten Seite doch für eine beliebiges a ∈ Z ∪ X wahr. Die linke Aussage das X eine Teilmenge von Y ist, jedoch falsch, oder? Also ist die Äquivalenz doch auch nicht richtig...

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@jOhannes2377

Wir haben hier die Äquivalenz zweier Implikationen.

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Welche Rolle spielt es, wie Z und Y zueinander stehen?

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Wenn die rechte Aussage einer Implikation wahr ist, ist die Implikation wahr. (Aussagenlogik / -algebra)

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@PWolff

Die rechte Seite kann doch aber richtig sein, die linke allerdings nicht. Eben genau dann, wenn X eine Teilmenge von Z ist aber Z (und natürlich X) keine Teilmenge von Y. Dann ist die rechte Aussage doch wahr, die linke aber nicht. Also impliziert die rechte Seite nicht die linke. Und die Äquivalenz wäre nicht wahr.

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@jOhannes2377

Wenn es für ein Z nicht hinkommt, ist die rechte Seite falsch. Hier wird ja Z als "für alle" quantifiziert.

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@PWolff

Für "von rechts nach links" reicht es also, ein beiliebiges Z herauszunehmen, am einfachsten die leere Menge.

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@PWolff

Da war ich vielleicht bei der Antwort ein wenig zu voreilig. Ich hätte wohl doch beide Richtungen der Äquivalenz berücksichtigen sollen.

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Aber warum reicht es, an einem Beispiel zu zeigen, rechts links impliziert.

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@jOhannes2377

Rechts steht "für alle Z <mit Einschränkung>".

Aus "für alle Z" folgt "für dieses Z" (man muss natürlich eins finden, das existiert, aber das ist ja kein Problem - die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge).

Und wenn für dieses eine Z aus der Aussage "unter" dem Quantor die linke Seite folgt, folgt aus der rechten Seite die linke.

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Um aus der llinken Seite die rechte Seite herzuleiten, muss man in der Tat alle Z (bzw. ein beliebiges Z, das man dann alle zugelassenen Z durchlaufen lassen kann) betrachten.

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Man beweist bei Äquivalenzen oft beide Richtungen getrennt voneinander, weil das oft leichter ist.

Möglich ist das, weil für jede Belegung der Variablen mit Aussagen gilt:

(a <=> b) <=> ( (a => b) ∧ (b => a) )

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