Äquivalente Gleichungen in Mathe

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2 Antworten

A. Ich finde die Lösung von dk1510 gut, so geht es auch mit anderen Gleichungen, wenn du "die Nenner weghaben" willst.

B. Bei genau zwei Brüchen geht noch etwas anderes. Eine Gleichheit zweier Brüche lässt sich auch als Verhältnisgleichung lesen, also:

x : 5 = 2 : 7

("x verhält sich zu fünf wie zwei zu sieben.") Für Verhältnisgleichungen gilt die Regel:

Produkt der Innenglieder gleich Produkt der Außenglieder.

Die Innenglieder sind 5 und 2 (Produkt 5 * 2 = 10) und die Außenglieder sind 7 und x (Produkt 7x). Also bekommst du so das Ergebnis

10 = 7x

mit dieser Regel direkt und in einem Schritt.

C. Es gibt noch zwei praktische Regeln über Verhältnisgleichungen. Innen- und Außenglieder lassen sich vertauschen (das ist auch eine Äquivalenzumformung). Also sind folgende vier Gleichungen auch äquivalent:

x/5 = 2/7; 7/5 = 2/x;

x/2 = 5/7; 7/2 = 5/x;

"Über kreuz" gehen die Gleichungen auch durch "Brüche stürzen" auseinander hervor, andere Übergänge von einer Gleichung zur anderen würden aber mehrere Umformungen kosten. Mit der Auffassung einer Gleichung mit zwei Brüchen als Verhältnisgleichung geht das einfacher.

Ein Bruchstrich ist das selbe, wie ein geteilt Zeichen! Also musst du einfach auf beiden Seiten mal 5 rechnen:

x/5 = 2/7

x : 5 * 5 = 2/7 * 5 Das x fällt weg, da :5 *5 sich aufhebt!

x = 10/7 Wenn du jetzt noch auf beiden Seiten mal 7 rechnest, kommst du auf das Richtige!

7x = 10

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