Addition --> Muliplikation --> Exponenten

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3 Antworten

Zur Berechnung von e^x mit Grundrechenarten: Hilfreich ist hier sicher der Zusammenhang

e^x = ∑ x^n / n! , wobei n = 0,..., ∞; (1)

da die Fakultäten rasch wachsen, konvergiert die Reihe rasch, und bereits nach Berechnung der ersten zehn Glieder ist die Genauigkeit für die sehr viele praktische Zwecke ausreichend. - Mit dem Zusammenhang

e^(ix) = cos(x) + i * sin(x), wobei i die imaginäre Wurzel von -1 ist

leitest du aus (1) eine konvergente Reihen für den Kosinus und eine solche für den Sinus her (wobei die Aussagen "Der Konsinus ist eine gerade Funktion, der Sinus eine ungerade" eine "exponentiell anschauliche" Bedeutung bekommen).

Allgemeiner ist ein hier weiterführendes Stichwort Taylorreihe (siehe z.B. Wikipedia), deren Existenz durch den Satz von Taylor gesichert wird, der wiederum auf einer Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes der Differenzialrechung beruht (und letzterer geht dann Richtung Schulmathematik).

Fragechamp 14.06.2014, 14:08

sehr schön, einfach und übersichtlich, vielen Dank, das hat mich weitergebracht :)

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Also ehrlich gesagt: die ersten Schritte (a*b = a + a + a + ... [b mal]) ist für die Grundschule gedacht, damit man ein Gefühl für die Zahlenoperationen bekommt. Die höheren Operationen werden dann immer komplexer, wenn man die in Summen darstellen will (z.B. 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2 = ( 2 + 2 ) * 2 = 2 + 2 + 2 + 2). Das mit Reellen Zahlen, wäre dann nicht mehr so einfach darzustellen. Denn man müsste die Zahl in Brüche umformen (2,2 = 2 + 1 / 5 ; 2 * 2,2 = 2 * ( 2 + 1 / 5 ) ). Soweit bist du auch.

Doch bei 2 ^ 2,2 folgt ( 2 ^ 2 ) * ( 2 ^ ( 1 / 5 ) ). Das solltest du verstehen, es war in Mathe dran. Doch ein Algorithmus, der die fünfte Wurzel ermittelt, den kenne ich nicht. Das wäre auch schwer zu implementieren. In der Informatik nutzt man den Trick mittels der natürlich Logarithmen und e^x. Dabei wird eine Potenz in diese Form umgewandelt: a^b=c --> e^( b* ln(a) ) = c . Wenn du das umformst, wirst du wissen, es stimmt!

Für sowas gibt es auch einen Algorithmus im Internet, und diesen kannst du auf den Ursprung ( 1+1) zurückführen.

Den Logarithmus log a (b) (Basis a), läst sich auf die Form zurückführen: ln(b) / ln(a). Jetzt haben wir die Potenz, die Wurzel und den Logarithmus. Das sollte reichen. Jetzt musst du nur noch nachsehen, wie die Algorithmen für e^x und ln(x) sind. Aber diese sind auch nicht all zu kompliziert.

Wenn du das hast, kannst du alle Rechenoperationen auf Addition, Multiplikation und Division (alias: Multiplikation mit einen Reziproken) zurückführen.

Zu guter Letzt: wenn du das rechentechnisch umsetzten willst, dann lass bitte e^x und ln(x) in Ruhe! Diese lassen sich bedeutend schneller ausrechnen, wenn man die Boardmittel nimmt, da (meines Wissens nach) auf dem Prozessor die Schaltkreise dafür schon eingebaut sind.

Ich hoffe ich konnte dir helfen!

JungerPadawan95 13.06.2014, 23:34

Ach ja die Wurzel: 2,2te Wurzel von 3 = 3 ^ ( 1 / 2,2)

und dies machst du wieder mit der Formel a^b = c --> e^(b*ln(a))

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Fragechamp 14.06.2014, 01:11
@JungerPadawan95

hm sehr schade, ich dachte das kann man schachtelweise irgendwie von + auf * auf e^x auf a^x irgendwie aufeinander aufbauen, mit natürlichen Zahlen hatte ich da schon so Ansätze, (ausser für log, sin, tan, cos), ich dachte das kann man dann irgendwie auf reelle erweitern, naja über e^x ok, ich glaub dann lass ich es doch mit dem implementieren, aber interressatn wars dennoch, vielen vielen Danke für die Mühe :) (ach ja: sowas wie a^b=c --> e^( b* ln(a) ) = c wusste ich eh, nur nicht, dass man das hier verwenden kann) dennoch noch 2 fragen:1. bei Wikipedia steht ne implementierung des nat. Log. (BKM) in C++ aber da wird auch ne Tabelle verwendet und Zitat ''nicht all zu kompliziert." und das ist ja dann eher ne verallgemeinerung einer Tabelle oda so und kein Algorithmus und die Tabelle gibt ja irgend so ein k oder so mit ln(2+...) oder so an?! 2.Was für Schaltkreise sind denn da eingebaut? einer der den nat. Log. ausgibt oder was? ich dachte immer n PC/Taschenrechner kann bloß CMP/OR/NOT/ADD/AND...

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JungerPadawan95 14.06.2014, 09:51
@Fragechamp

Natürlich stimmt das, das Prozessoren nur die Basisoperationen können. Aber durch geschickte Kombinationen, kann man mit diesen Halbaddierer, Volladdierer, etc. bauen (unser Informatiklehrer hat mit uns so etwas gemacht). Aus diesen Komponenten kann man noch komplexere "Gebilde" bauen. Und meines Wissens nach, hat der CPU des Computers nicht nur einfache Schaltkreise, sondern auch komplexere, die die Arbeit beschleunigen sollen. Das hat den Vorteil, dass die komplette Operation auf der CPU bleibt und nicht ständig von außen (Programm) gesteuert werden muss. Der normale CPU kann mehr als du denkst!

Bei Taschenrechnern ist das wieder anders, da ist der CPU nicht so leistungsfähig. Da werden die meisten Operationen programmgesteuert ausgeführt.

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ach ja ich frag, weil ich jetzt schon ewig such, und ich immer nur auf Ansätze stoße, die mir aber nicht viel bringen(Funktionsweise eines Taschenrechners: binär, transistoren, etc.)

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