Addieren&Subtrahieren von Termen?

...komplette Frage anzeigen

5 Antworten

In der Mathematik muss man sich exakt an die Rechenregeln und Formeln halten,sonst geht´s in die "Hose"

Hier gelten die "Potenzregeln",siehe Mathe-Formelbuch,wsa du in jeden Buchladen privat kaufen kannst,wie den "Kuchling"

(u *v)^2= (u * v) * (u *v)= u^2*v^2

(- x)^2= (- x) *(-x)= x^2 Merke : Minus mal Minus ergibt plus

- x^2= - 1 * x^2 hier steht - 1 vor den x ,die 1 wird meistens weggelassen

Der Exponent bezieht sich jeweils nur auf das, was "direkt" links davon steht.

(u*v)^2 -> der Exponent bezieht sich auf dem Term in den Klammer "direkt" links davon -> (u*v)^2 = (u*v) * (u*v)

u*v^2 -> nur v steht "direkt" links vom Exponenten, u ist durch eine Multiplikation "getrennt" -> u*v^2 = u*v*v

(-x)^2 -> selbes Prinzip, wie bei (u*v)^2 -> (-x)^2=(-x)*(-x)

-x^2 -> selbes Prinzip, wie bei u*v^2, denn -x^2 = -1*x^2 -> -x^2= - x*x

Überlege doch mal logisch:

(u * v)² = u*v²

Macht es einen Unterschied, ob ich das Produkt quadriere oder nur einen Faktor?

Ja, definitiv.

Das kann auch einfach belegt werden:

Annahme: (u * v)² = u*v²

Sei v = u.

(u * u)² = u * u²

(u²)² = u³

u⁴ = u³

Es ist trivial, dass diese Aussage nicht für alle reellen Zahlen gilt (u = 2 ⇒ 16 = 8)

Grundsätzlich ist die Klammer folgendermaßen aufzulösen:

(u * v)² = u² * v²

Nun zum nächsten Term:

(-x)² = -x²

Macht es einen Unterschied, ob ich mit Vorzeichen quadriere oder nicht?

Ja, definitiv!

Beweis:

Annahme: (-x)² = -x²

Es gilt allgemein: (-x)² = x²

Also: x² = -x²

Trivialerweise gilt auch diese Aussage nicht für alle reellen Zahlen (x = 5 ⇒ 25 = -25).

Ich hoffe, ich konnte dir helfen und dir deine Frage beantworten; wenn du noch weitere Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Behauptung I:

(uv)²=uv²

u²v²=uv² | -uv²

u²v²-uv²=0

uv²*(u-1)=0 

Satz vom Nullprodukt:

uv²=0 --> u=0 und/oder v=0

oder

u-1=0 -->u=1


Lösungsmenge: u=0 und vℕ ; u=1 und v∈ℕ

(Man kann das ganze auch per abc-Formel lösen und sieht dann, dass v²=0 nicht gelten darf, also dürfte in dem Fall v²=0 kein Teil der Lösungsmenge sein)



Da die Gleichung nur für bestimmte Zahlen erfüllt ist, ist sie nicht allgemein wertgleich.


Behauptung II:

(-x)²=-x²

x²=-x² | +x²

2x²=0

Satz vom Nullprodukt:

x=0




Lösungsmenge:x=0


Die Gleichung ist wieder nur für bestimmte Zahlen erfüllt, also auch nicht allgemein wertgleich.



"Lösungsmenge: u=0 und v∈ℕ ; u=1 und v∈ℕ"

Warum ℕ? Wenn schon, denn schon: v∈ℝ. ^^

LG Willibergi 

0
@Willibergi

Wenn v∈ℝ gilt, dann gilt für u=1 und v= bspw. -5:

(-5)²=-5²

25=-25,

also eine falsche Aussage ; oder irre ich mich da?

0
@MeRoXas

Oder noch allgemeiner mit u und einer beliebigen negativen Zahl für v, hier -5:

(u*[-5])²=u*(-5²)

25u²=-25u | +25u

25u²+25u=0

25u*(u+1)

-->u=0 oder u=-1,

also ändert sich dann die Lösungsmenge, wenn eine negative Zahl für v genutzt wird. Ich bin verwirrt, klär mich bitte auf :-)

0
@MeRoXas

Es ist doch sonnenklar, dass sich die Lösungsmenge ändert - du definierst v ja hier klar als -5.

Das Beispiel des ersten Kommentars kann ich nicht in Bezug zu deiner Antwort bringen.

LG Willibergi 

0
@Willibergi

Bitte lass es an der späten Nachtstunde liegen, aber ich stehe gerade auf dem Schlauch ; wenn ich v=-5 einsetze (also eine Zahl aus der Menge der reellen Zahlen/der ganzen Zahlen), erhalte ich doch eine falsche Aussage (s.o.). Wie kann dann v∈ℝ sein, wenn für jedwede negative Zahl ein falsches Ergebnis herauskommt? Klammere ich vielleicht einfach falsch?

0
@MeRoXas

Beachte, dass die Aussage (uv)²=uv² für v = -5 nicht gilt!

Du hast ja vorhin selbst die Lösungsmenge aufgestellt.

Wenn v = -5, erhältst du:

(-5u)² = 25u

25u² = 25u

25u² - 25u = 0

25u(u - 1)

IL = {0; 1}

Wo liegt das Problem? ^^

Da liegt das Problem:

"(u*[-5])²=u*(-5²)"

Wenn auf der rechten Seite v² steht, musst du logischerweise das Vorzeichen mitquadrieren.

LG Willibergi 

1

(u • v)² = u² • v²   ≠  u • v²

(-x)² = (-x) • (-x) = +x² ≠ -x²

1

Was möchtest Du wissen?