Abstand einer Ebene zum Nullpunkt? (Analysis 2)?


27.04.2022, 06:08

Muss es bis um 9 Uhr fertig haben😢 Und ich hab immer noch keine Ahnung was man da überhaupt für eine Formel nehmen soll.

 - (Computer, Mathematik, Mathestudium)

2 Antworten

Ebenengleichung nach y umstellen: y = 2x + 2z - 16

Dieses y kann man in die zu minimierende Zielfunktion einsetzen:
x² + y² + z² = x² + (2x + 2z - 16)² + z² → min

Es entsteht ein lineares Gleichungssystem:
2x + 2 ⋅ (2x + 2z - 16) ⋅ 2 = 0
2 ⋅ (2x + 2z - 16) ⋅ 2 + 2z = 0

10x + 8z = 64
8x + 10z = 64

20x + 16z = 128
20x + 25z = 160

9z = 32

z = 32/9
x = 32/9
y = 128/9 - 16 = -16/9

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Wirtschaftsmathematik

Lotgerade auf Ebene (Koeffizienten von x,y,z) : n = (2,-1,2)

Lotgerade durch den Ursprung: m = (0,0,0) + s*(2,-1,2)

m in die Ebene einsetzen: 2(2s) -1(-s) + 2(2s) = 16

Lösung: 9s = 16 -> s = 16/9

s in die Lotgerade einsetzen:

Der Punkt lautet somit P = (32/9, -16/9, 32/9)

##

Den in der Aufgabe vorgebenen Lösungsweg kenne ich nicht. Den solltet ihr aber im Unterricht durchgenommen haben.

Der quadratische Abstand des Punktes P zum Ursprung beträgt:

d^2 = Px^2 +Py^2 + Pz^2, das soll ein Minimum werden.

Ausserdem erfüllt P die Ebenengleichung 2Px - Py + 2Pz =16.

Dann braucht an noch eine dritte Gleichung, vermutlich (Px,Py,Pz) = s *(2,-1,2)

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