ableitungsregeln mit ln und e funktion. Bitte um hilfe

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2 Antworten

was genau willst du da denn lösen? willst du wissen, wie man auf die ableitungen von e^x und ln(x) kommt?

das ist eigentlich gar nicht soo schwer (wenn man weiß, wie :D)

ableitung e^x:

e^x ist die exponentialfunktion und lautet eigentlich e^x=exp(x)=lim_n->oo (1+x/n)^n

kurze erklärung: man betrachtet (1+x/n)^n und n ist irgend eine natürliche zahl (von mir aus auch reell) und lässt diese gegen unendlich laufen. dann entspricht dies e^x. kann man beweisen, mach ich jetzt nicht.

den kram kann man jetzt mit der kettenregel ableiten, das ist dann: exp'(x)=limn->oo n*(1+x/n)^n-1 * 1/n = limn->oo (1+x/n)^(n-1)

das n kommt vom polynom, (1+x/n)^n is ja quasi ein polynom und das 1/n vom nachdifferenzieren aus der klammer (kettenregel). ob jetzt n oder n-1 im exponent gegen unendlich geht, ist ziemlich wurst. die -1 macht den bock nicht fett, also steht da:

exp'(x)=lim_n->oo (1+x/n)^n und das ist eben wieder die exponentialfunktion.

also ist die ableitung von e^x wieder e^x.

bei der ableitung von ln(x) braucht man wieder die definition der ableitung. die ist da:

f'(x)=lim_h->oo (f(x+h)-f(x))/h.

eigentlich bedeutet dass ja: die veränderung von f (=delta f) geteilt durch die veränderung von x (=delta x) für delta x gegen 0.

kurz schreibt man dazu auch df/dx. damit lässt sich das einfach lösen:

die funktion sei y=ln(x) (anstelle von f(x) schreibe ich zur vereinfachung einfach y)

dann ist doch x=e^y (ln ist ja die umkehrfunktion der e-funktion)

dy/dx ist die gesuchte ableitung, das können wir so nicht bilden. aber wir können x nach y ableiten! also dx/dy=e^y.

die ableitung der e-funktion ist wieder die e-funktion, jetzt leiten wir aber nach y statt nach x ab (einfach nur andere variablenbezeichnung)

dann ist dy/dx eben der kehrwert davon, also:

dy/dx=1/e^y. es war ja y=ln(x) und das setzt man nun da ein und erhält:

dy/dx=1/(e^ln(x)) und das gibt eben dy/dx=1/x

kettenregel (google)

Bsp e^(3x) abl. 3 * e^(3x) und ln(4x) abl. 4 * 1/(4x) = 1/x

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