Ableitungen und ihre Aussagen

4 Antworten

Hallo !

Arten von Ableitungen -->

Gehen wir von der Funktion z = f(x,y) = x ^ 2 + sin(y) + x * y aus.

Erste partielle Ableitung von f(x, y) nach x -->

 del f(x, y) nach del x = y + 2 * x

Erste partielle Ableitung von f(x, y) nach y -->

del f(x, y) nach del y = x + cos(y)

Zweite partielle Ableitung von f(x, y) nach x und x-->

del ^ 2  f(x, y) nach del x * del x = 2

Zweite partielle Ableitung von f(x, y) nach x und y -->

del ^ 2 f(x, y) nach del x * del y = 1

Zweite partielle Ableitung von f(x, y) nach y und x -->

del ^ 2 f(x, y) nach del y * del x = 1

Zweite partielle Ableitung von f(x, y) nach y und y -->

del ^ 2 f(x, y) nach del y * del y = -sin(x)

Bei einer Funktion die nur von x abhängt, also f(x), kann es nur partielle Ableitungen nach x geben, und man spricht dann auch nicht mehr von partiellen Ableitungen, sondern nur noch von Ableitungen.

Man nennt die Ableitung von f(x) die erste Ableitung, die Ableitung von der ersten Ableitung nennt man zweite Ableitung und so weiter.

LG Spielkamerad

Kurz und etwas vereinfacht gesagt:

Mit der ersten Ableitung f´ einer Funktion f bestimmst Du die Steigung von f (an einer Stelle x).

Mit der zweiten Ableitung f´´ einer Funktion f bestimmst Du die Krümmung von f (an einer Stelle x).

Ist z.B. f´(4) = 2, weißt Du, dass die Tangente, die bei x = 4 an den Graphen von f anliegt, die Steigung 2 hat; insbesondere also: der Graph verläuft an dieser Stelle nach oben (positive Steigung).

Bei der 2. Ableitung interessiert häufig nur die Art der Krümmung: f´´(x0) > 0 bedeutet, dass der Graph von f an der Stelle x0 linksgekrümmt ist.

"x werte der verschiedenen Ableitungen in die Stammfunktion" einsetzen? Darunter kann ich mir nichts vorstellen. Eine Stammfunktion wird z.B. benötigt, wenn man die Fläche zwischen Graph und x-Achse berechnen soll. Das hat aber mit den Ableitungen nichts zu tun.

Langt das erst mal zum groben Verständnis?

Woher ich das weiß:Beruf – Mathestudium

Die erste Ableitung f '(x) gibt die Steigung in dem Punkt des Graphen                   mit diesem x-Wert, sagt uns also wie steil er dort verläuft.

Das Vorzeichen von f '(x) gibt an, ob er steigt (+) oder fällt (-),                          wenn man sich auf ihm von links nach rechts bewegt.

Die 2. Ableitung f ''(x) gibt die Krümmung an bzw. wie schnell sich                        die Steigung ändert. f ''(x) > 0 ↔ Linkskrümmung, sonst Rechtskrümmung           (wieder von links nach rechts).

Extrema (Maxima und Minima) findet man, wenn man f '(x) = 0 setzt.                 Wenn dort f ''(x) > 0 ist es ein Minimum, sonst Max.

Wendepunkte findet man mit f ''(x) = 0 und f '''(x)  ≠ 0 an der Stelle.


Muss man die 1. Ableitung grundsetzlich = 0 setzen damit man die Steigung des Graphen rauskriegt?

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@benrosch

f '(x) IST die Steigung des Graphen,

und durch setzen von f '(x) =  0 kann man die Extrema ermitteln.

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Danke euch beiden, ja lang fürs grobe verstehen!

Muss man die X Werte nicht ab und an in die Stammfunktion einsetzen um den Y Wert rauszufinden oder irre ich mich da?

Ich verstehe deine Frage leider nicht :-(( ! Kannst du mal ein praktisches Beispiel posten was genau du meinst ???

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@Spielkamerad

also angenommen, ich nehme die erste ableitung gleich Null und bekomme so einen X wert raus. Mir ist bekannt, dass man den X-Wert den man durch die 1. Ableitung bekommt ab und zu wieder in die Stammfunktion als z.b. f(2) einsetzt um den einen anderen wert rauszukriegen. Hab ich da recht oder irre ich mich?

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@benrosch

Ja, das stimmt.

Das macht man wenn man die Extremwerte der Funktion y = f(x) bestimmen will.

Man berechnet zuerst die Nullstellen der ersten Ableitung.

Setzt dann die x-Werte der Nullstellen der ersten Ableitung in y= f(x) ein um den y - Wert, also die y-Komponente, zu den Extremwertpunkten zu erhalten.

Mit der zweiten Ableitung kann man rein rechnerisch bestimmen ob es Minima oder Maxima sind.

Manchmal braucht man auch noch die dritte Ableitung, bei Wendepunkten nämlich.

Google mal nach Kurvendiskussion.

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