Ableitungen? parabeln Ich bin am verzweifeln..(((

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3 Antworten

Ich habe die Aufgabe noch mal etwas anders als psychironiker gerechnet und komme zum gleichen Ergebnis:

Die Geradengleichung des einfallenden Strahles ist y = 0 * x + u
Die Tangente an der Parabel y = ax² am Punkt u hat den Anstieg m = y’ = 2au
Die Mittelsenkrechte auf die Tangente (Reflektionsachse) hat den Anstieg
tan(α) = -1/m = -1/(2au)
Mit dem Einfallswinkel von 90° ergibt sich der Ausfallswinkel β = 2α - 90°
und der Anstieg des reflektierte Strahles tan(β) = tan(2α - 90°) = -1/tan(2α)
Mit tan(2α) = 2tan(α) / (tan²(α) - 1) wird
tan(β) = (1/(4a²u²) - 1) / (-1/au)) = (4a²u² - 1) / 4au

Die Gleichung des reflektierten Strahles:
y = tan(β) * x + b ergibt am Punkt (u|v)
b = (au² * 4a + 1 - 4a²u²)/ 4a = 1/4a

Die Gleichung des reflektierten Strahles:
y = (4a²u² - 1) / (4au) * x + 1/4a

psychironiker 07.03.2014, 00:32

Ich glaube nicht, dass das tan-Additionstheorem so herum stimmt, s.o., denn das ergäbe:

tan(β) =

-1 / tan(2α) =

eingesetzt:

-1 / ( 2tan(α) / (tan²(α) - 1) ) =

-(tan²(α) - 1) / ( 2tan(α) ) =

(1 - tan²(α) ) / ( 2tan(α) ) =

(1 - 4a²u²) / ( 4au)

. . .

Wie genau kommst du auf die Zeile

tan(β) = (1/(4a²u²) - 1) / (-1/au)) ?


Kleinigkeiten:

Die Geradengleichung des enfallenden Strahls hat die Gleichung x = u, denn ist eine y-Parallele (und keine x-Parallele).

Wenn die Tangente den Anstieg tan(α) hat, ist der Einfallswinkel ist nicht 90°, sondern 90° -α, und dies ist höchstens bis auf das Vorzeichen auch der Ausfallswinkel (ich vermied bewusst diese physikalisch fest definierten Begriffe).

1/4a = (1/4)a ≠ 1/(4a) usw.; der Nenner war aber sicher zusammenhängend gemeint.

(4a²u² - 1) / 4au = ((4a²u² - 1) / 4) au ≠ (4a²u² - 1) / (4au)

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Geograph 07.03.2014, 18:03
@psychironiker

Sorry, Du hast natürlich Recht.
Es war halt schon ziemlich spät und meine Konzentration nicht mehr die beste.
Hoffentlich hat das den UP nicht zu sehr verwirrt.

Btw.
Wieder mal ein Beispiel dafür, dass man mit mehreren Vorzeichenfehlern zufällig doch zum richtigen Ergebnis kommt ;)

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Der Strahl aus y-Richtung ( = parallel zur Achse der Parabel p(x) ) treffe bei x = u auf p(x). Die Tangente an p(x) in x = u hat die Steigung

p'(u) = 2au = tan(α),

wobei α der orientierte Winkel der Tangente zur x-Richtung ist. Also ist der Winkel der Tangente zur y-Richtung β = 90°- α (Zeichnung).

β ist auch der Winkel des reflektierten Strahls zur Tangente; also ist der Winkel des reflektierten Strahls zur x-Richtung α - β = α - (90° -α) = 2α - 90°

Also ist die Steigung der Gerade, die den reflektierten Strahl beschreibt (da du die trigonometrische Beziehung nicht angibst, verwende ich diejenigen, die mir einfallen):

tan(2α -90°) =

-tan(90° -2α) =

-cot(2α) =

-(cos²(α) - sin²(α)) / ( 2sin(α)cos(α) ) =

-cot(α) / 2 + tan(α) / 2 =

-(1 / 2au) / 2 + 2 au / 2 =

au - 1 / ( 4 au) =

(4a²u² - 1) / ( 4 au) =

[ (2au -1)(2au +1) / ( 4au) ];

da die Gerade den Punkt (u | v = au²) enthält, gilt für ihren y-Achsenabschnitt b:

b = [ v - m u = ] au² - u * (4a²u² - 1) / ( 4 au)

= 4a²u² / (4a) - (4a²u² - 1) / (4a) = 1 / (4a);

also ist die Gleichung des reflektierten Lichtstrahls

y = x * (2au -1)(2au+1) / (4au) - 1 / (4a),

falls ich mich nicht verrechnete.

fakemail1234 06.03.2014, 18:30

:O:O:O Hast du Mathe studiert :D:D

Hätte da noch ne frage: Zeigen Sie; Bei jeder Parabel gehen parallel zur Achse einfallende Lichtstrahlen nach der Reflexion durch den selben Brennpunkt... und jetzt muss ich erst mal das Geschreibene vertsehen:D

VIELEN VIELEN DANK

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Geograph 06.03.2014, 19:42

Ich habe zwar den Fehler noch nicht gefunden, aber das letzte Glied der Gleichung muß auf jeden Fall +1/(4a) sein, da das die Y-Koordinate des Brennpunktes ist!

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fakemail1234 06.03.2014, 20:35
@Geograph

aber warum ist das so: Bei jeder Parabel gehen parallel zur Achse einfallende Lichtstrahlen nach der Reflexion durch den selben Brennpunkt

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psychironiker 06.03.2014, 20:42
@fakemail1234

Geograph hat Recht, das ist schlicht ein Tippfehler (es muss in der Tat + 1/(4a) heißen). Das spricht aber dafür, dass einiges am Rest stimmt, denn dieses "schöne" Ergebnis ist auf der Grundlage der "hässlichen" Steigung errechnet.

@fakemail1234:

(1) Die Rechnung verwendet ausschließlich Schulmathematik.

(2) Deine Frage ist mit dem gefundenen Ergebnis beantwortet: Der y-Achsabschnitt b = 1 / (4a) hängt nicht von u ab. Für alle achsenparallel einfallenden Strahlen geht der reflektierte Strahle durch den (gemeinsamen Brenn)punkt ( 0 | 1 / (4a) ).

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Geograph 06.03.2014, 22:56
@psychironiker

Zu (1)
Ich war mir allerdings bei der Gleichung tan(2α) = 2tan(α) / (tan²(α) - 1) nicht sicher, ob die Schulmathematik bezüglich der Umformung trigonometrischen Funktionen (mehrfache Winkel) so weit geht, bzw. ob es dazu Formelsammlungen gibt, die verwendet werden können.

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psychironiker 07.03.2014, 00:04
@Geograph

tan(2α) =

2sin(α)cos(α) / (cos²(α) - sin²(α) ) =

  • erweitere mit 1 / cos²(α)

2 tan(α) / (1 - tan²(α))


Erstens kannte kein (sehr zu Pass kommendes) tan-Additionstheorem, zweitens verwendete ich es auch nicht;

-cot(2α) = - cos(2α) / sin(2α)

sollte nun schon "drin" sein, ebenso

die einfachen Additionstheorem für sin(α+β) und cos(α+β), aus

denen sich diejengen für den Doppelwinkel direkt ergeben.

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Entweder ich habe ne Denkblockade oder es ist echt eine relativ knifflige Aufgabe.. Ich löse das mal auf dem Blatt und schick dir gleich einen Link zum Bild ;)

fakemail1234 06.03.2014, 18:22

vielen dank, falls dei frage wegen gutefrage.net gelöscht werdne sollte...kannst du mir das an meine mail schicken?:

XThatualle40@superrito.com

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