Ableitung von f(x)=1/x^2?

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6 Antworten

also im Bruch steht ja das x hoch zwei unten diese holst du dann nach oben .Jedoch steht da dann nicht 1*x hoch zwei sondern 1*x hoch minus zwei.Dann holst du die minus zwei nach unten zu der eins..dann kommt da -2*x^-3--da steht minus drei weil man da oben noch eins abziehen musst.Und wenn du dass dan wieder in nem Bruch haben möchtest dann steht da-2/x^3

Hoffe ich konnte dir helfen..Wenn nicht frag einfach nochmal:)

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Kommentar von Yeti101
23.02.2016, 20:37

Danke für die Antwort, jetzt ist mir aber gerade doofer weise erst aufgefallen, dass ich meine Frage evtl etwas falsch formuliert habe. 

Mit dem "langen, schriftlichen Weg" meine ich diese Rechnung in der man mit dem lim h->0 laufen lässt. 

Weißt du was ich meine? :D

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Du kannst einmal die Quotientenregel benutzen.

allgemein    bei f(x) = u(x) / v(x)  gilt für f '(x) = ((u' * v) - (u* v ')) / v²

konkret deine Gleichung: 

(1/x²)' = (0 * x² - 2x*1) / (x² * x²) = -2x/ x^4 = -2 / x^3

Du kannst die Gleichung auch umformen:(Ableitung von Potenzen)

y(x) = 1/x² = 1*x^-2 = x^-2
y'(x) = -2 * x^-3 = -2 / x^3

Du bekommst mit beiden Rechenwegen das gleiche Ergebnis.

(Ich habe jetzt solche Feinheiten  wie (du)dx einfach mal weggelassen, für eine elegante vollständige Herleitung gehört es sich natürlich, diese mit aufzuführen - sry)

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Also die Potenzregel [Ableitung für x^n] funktioniert im eigentlichen Sinne nur für positive n, da im Beweis der Binomialsatz verwendet wird, der auch erstmal nur für positive n gilt.

Die Herleitung der Ableitung von f(x) = 1/x² wird in zwei Teilen geschehen, erst eine kleine Wiederholung der Ableitung von x² und dann in der Ableitung von 1/f(x), wenn f'(x) bekannt ist.

g(x) = x² lässt sich einfach ableiten, wir haben:

g'(x) = lim h->0 [(x+h)² - x²]/h = lim h->0 (x² + 2hx + h² - x²)/h = lim h->0 2x + h = 2x, soweit so gut.

Dazu erinnern wir uns an die Reziprokenregel:

(1/f)' = -f'/f², dies ist ein Sonderfall der Quotientenregel, wenn du u/f ableiten willst und u = 1 setzt, kommst du auf genau diese Formel, da der erste Summand u'f wegfällt, da u' = 0.

Letztendlich kommen wir also auf:

(1/x²)' = -2x/(x²)² = -2/x³.

LG

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d/dx (1/x^2) = d/dx (x^-2) = -2(x^-3) = -2/(x^-3)

Oder möchtest du eine Grenzwertbestimmung?

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Kommentar von Yeti101
23.02.2016, 20:41

Ja du hast recht, ich meine die Grenzwertbestimmung, ich habe meine Frage leider etwas falsch formuliert.. :-/

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schreib zumindest die Formel auf, mit der du die lange Version machen möchtest.

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Kommentar von Yeti101
23.02.2016, 20:40

f'(x) = f(x+h)-f(x)/h

Ich weiß einfach nicht genau wie man, wenn man f(x) eingesetzt hat, das mit der binomischen Formel für x^2 lösen soll :-/

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So, bitte. An der Tastratur lassen sich so schlecht Brüche schreiben :/

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