Ableitung von der Gleichung = Gleichung?

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7 Antworten

Die Ableitung ist die Steigung.

Wenn ein Graph fällt, ist die Steigung in diesem Intervall negativ. Wenn er steigt, positiv.

Konstante Funktionen f(x) = c steigen und fallen nicht, damit ist die Ableitung f'(x) = 0.

Für f(x) = f'(x) muss also f(x) = 0 gelten.

Es gibt ebenfalls die e-Funktion mit g(x) = e^x. Ihre Ableitung ist g'(x) = g(x) = e^x.

Mithilfe von t(x) = h'(a) (x - a) + h(a) kann man eine Tangentengleichung aufstellen, die den Graphen der Funktion h immer in einem Punkt (a|h(a)) berührt.

Hier sind verschiedene Funktionsgraphen, ihre Ableitung und ihre Tangenten für a = 3:

0: http://m.wolframalpha.com/input/?i=plot%7Bf%28x%29+%3D+0%2C+g%28x%29+%3D+0+*+%28x+-+a%29+%2B+0%7D+with+a+%3D+3&x=0&y=0

3: http://m.wolframalpha.com/input/?i=plot%7Bf%28x%29+%3D+3%2C+g%28x%29+%3D+0%2C+h%28x%29+%3D+0+*+%28x+-+a%29+%2B+3%7D+with+a+%3D+3&x=0&y=0

x: http://m.wolframalpha.com/input/?i=%7Bx%2C+1%2C+1+*+%28x+-+a%29+%2B+a%7D+with+a+%3D+3&x=0&y=0

x^2: http://m.wolframalpha.com/input/?i=%7Bx%5E2%2C+2x%2C+2a+%28x+-+a%29+%2B+a%5E2%7D+with+a+%3D+3&x=0&y=0

e^x: http://m.wolframalpha.com/input/?i=%7Be%5Ex%2C+e%5Ea+%28x+-+a%29+%2B+e%5Ea%7D+with+a+%3D+3&x=0&y=0

Die Ableitung gibt also die Steigung an und die Tangente ist eine Gerade, die eine Funktion in einem bestimmten Punkt berührt.

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Man leitet keine Gleichungen ab, sondern Funktionen.

Wenn du zwei Funktionen gleichsetzt (DANN hast du eine Gleichung!), so geben die Lösungen dieser Gleichung an, bei welchen x-Werten die beiden Funktionen die gleichen y-Werte aufweisen (Schnittpunkte!)

Leitest du nun beide Seiten dieser Gleichung ab, so geben die Lösungen an, an welchen Stellen die ursprünglichen Funktionen die gleiche Steigung aufweisen! Diese Lösungen sond i.d.R. ganz andere als die der nicht-angeleitehten Gleichung!

In deinem Beispiel setzt du die Funktion und deren Ableitung Null. In einem Fall bestimmst du damit die Nullstellen der Funktion, im anderen Fall die Position der Extremwerte (bzw. Sattelpunkte, etc.)

Die Funktion und die Ableitung sind, wie du ja aus deinem Beispiel sehen solltest, i.d.R. unterschiedlich!

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Kommentar von UlrichNagel
10.08.2017, 11:05

Eine Funktion ist auch eine Gleichung, nur eine mit mehr als einer Unbekannten, eben den Variablen!

0

http://m.wolframalpha.com/input/?i=20x%5E5+%2B+100x%5E4+%2B+5x%5E3+%2B+7x%5E2+%2B+x%2C+d%2820x%5E5+%2B+100x%5E4+%2B+5x%5E3+%2B+7x%5E2+%2B+x%29%2Fdx%2C+d%5E2%2820x%5E5+%2B+100x%5E4+%2B+5x%5E3+%2B+7x%5E2+%2B+x%29%2Fdx%5E2&x=0&y=0

Das zeigt auch nochmal deutlich, dass die Ableitung/Steigung negativ ist, wenn der Funktionsgraph fällt, und positiv, wenn er steigt. Bei dem x-Wert eines Extrempunkt der Funktion (höchster/tiefster Punkt der Funktion im Bereich) ist eine Nullstelle der Ableitung. Bei einem Wendepunkt (Krümmungswechsel) ist eine Nullstelle der 2. Ableitung (Ableitungsableitung) und ein Extrempunkt der Ableitung.

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Es gibt eine Funktion (nicht Gleichung), bei der die Ableitung der Funktion (f'(x)) gleich der Ausgangsfunktion (f(x)) ist, das ist die Funktion f(x) = e^x.

Mit        f(x) = e^x    gilt   f'(x) = e^x

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Ja, die Ableitung ist korrekt. Man wendet hier die Potenzregel, die Faktorregel und die Summenregel an.

Die Potenzregel besagt, dass der Exponent beim Ableiten um eins runtergeht und der alte Exponent als Faktor vor die Potenz kommt,

die Faktorregel besagt, dass ein konstanter Fakrot beim Differenzieren erhalten bleibt

und die Summenregel besagt, dass eine Summe differenziert wird, indem jeder Summand einzeln differenziert wird.

Und all das ist hier korrekt ausgeführt

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Du leitest nicht die Gleichung ab, sondern die Funktion, deren Nullstellen dich interessieren.

Und nein, die "Ableitung einer Gleichung" ist nicht die Gleichung.

x^2 - 1 = 0 hat Lösungen -1, 1.

2x = 0 hat die Lösung x = 0.

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du siehst doch eindeutig dass die ableitung nicht gleich der "originalen" gleichung ist

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