Ableitung Kettenregel mit wurzel
Hallo, ich verstehe nicht wie ich folgende Funktion mit der Kettenregel ableiten soll. Kann mir jemand helfen versuche es schon seit 2h
Y=x√x+3 die lösung sollte sein 3(x+2) / 2√x+3
Danke
2 Antworten
Produktregel 1 * √x+3 + 1/2 x * (x+3)^-1/2 = √x+3 + x / 2√x+3
jetzt auf Hauptnenner bringen; (2(x+3)+x ) / 2√x+3 = (3x+6) / 2√x+3 = 3(x+2) / 2√x+3
Hallo !
Dir wurde aufgetragen, mit der Kettenregel abzuleiten !
Deine Funktion lautet -->
y = x * √x+3
Dafür kannst du auch schreiben -->
y = x * (x + 3) ^ (1 / 2)
Nun bringst du erstmal das x vor der Klammer in die Klammer hinein -->
y = (x ^ 2 * (x + 3)) ^ (1 / 2)
Den Ausdruck innerhalb der Klammer kannst du ausmultiplizieren -->
y = ( x ^ 3 + 3 * x ^ 2) ^ (1 / 2)
Die Kettenregel erfordert, dass du y als Ergebnis zweier Funktionen erhälst, nennen wir sie mal u und v -->
y = u(v(x))
u(v) = v ^ (1 / 2)
v(x) = x ^ 3 + 3 * x ^ 2
Jetzt leitest du u und v ab -->
u´(v) = 1 / 2 * v ^ -0,5 = 1 / (2 * v ^ (1 / 2))
v´(x) = 3 * x ^ 2 + 6 * x
y´ ist nun laut Kettenregel folgendes -->
y ´ = u´(v(x)) * v´(x)
y´ = 1 /(2 * ( x ^ 3 + 3 * x ^ 2) ^ (1 / 2)) * (3 * x ^ 2 + 6 * x)
y´ = (3 * x ^ 2 + 6 * x) / (2 * x * (x + 3) ^ (1 / 2))
y´ = (3 * x + 6) / (2 * (x + 3) ^ (1 / 2))
y´ = 3 * ( x + 2) / (2* ( x + 3) ^ (1 / 2))
y´ = 3 * (x + 2) / (2 * √(x + 3))
Das ist dein Ergebnis von Oben, was herauskommen soll !