Ableitung Kettenregel mit wurzel

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2 Antworten

Produktregel 1 * √x+3 + 1/2 x * (x+3)^-1/2 = √x+3 + x / 2√x+3

jetzt auf Hauptnenner bringen; (2(x+3)+x ) / 2√x+3 = (3x+6) / 2√x+3 = 3(x+2) / 2√x+3

Hallo !

Dir wurde aufgetragen, mit der Kettenregel abzuleiten !

Deine Funktion lautet -->

y = x * √x+3

Dafür kannst du auch schreiben -->

y = x * (x + 3) ^ (1 / 2)

Nun bringst du erstmal das x vor der Klammer in die Klammer hinein -->

y = (x ^ 2 * (x + 3)) ^ (1 / 2)

Den Ausdruck innerhalb der Klammer kannst du ausmultiplizieren -->

y = ( x ^ 3 + 3 * x ^ 2) ^ (1 / 2)

Die Kettenregel erfordert, dass du y als Ergebnis zweier Funktionen erhälst, nennen wir sie mal u und v -->

y = u(v(x))

u(v) = v ^ (1 / 2)

v(x) = x ^ 3 + 3 * x ^ 2

Jetzt leitest du u und v ab -->

u´(v) = 1 / 2 * v ^ -0,5 = 1 / (2 * v ^ (1 / 2))

v´(x) = 3 * x ^ 2 + 6 * x

y´ ist nun laut Kettenregel folgendes -->

y ´ = u´(v(x)) * v´(x)

y´ = 1 /(2 * ( x ^ 3 + 3 * x ^ 2) ^ (1 / 2)) * (3 * x ^ 2 + 6 * x)

y´ = (3 * x ^ 2 + 6 * x) / (2 * x * (x + 3) ^ (1 / 2))

y´ = (3 * x + 6) / (2 * (x + 3) ^ (1 / 2))

y´ = 3 * ( x + 2) / (2* ( x + 3) ^ (1 / 2))

y´ = 3 * (x + 2) / (2 * √(x + 3))

Das ist dein Ergebnis von Oben, was herauskommen soll !

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