Ableitung des arctan

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2 Antworten

Es gibt einmal den Weg über komplexe Zahlen: atan(x) = (i/2) (Log[1 - i * x] - Log[1 + i * x])

oder einfacher über die Definition von atan:

atan(x)=x* Integral[1/(1 + x² t²)dt, {t=0...1}]

und da atan eigentlich ein Integral ist (Taschenrechner rechnen auch nur über Näherungsformeln oder unendlichen Reihen) ist die Ableitung des Integrals wieder die Ursprungsfunktion!

Vielen dank für deine bemühung bin leider noch in der 12 klasse und das ist leider zu hoch für mich kannst du es bitte nocheinmal etwas banaler erklären?

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ich hatte zunächst das kompliziertere Integral beschrieben, aber es gibt ja noch da einfachere: atan(x) = Integral[1/(1 + t²)]dt,t=0...x

(Integral 1/(1+x²) ) ' = 1/(1+x²)

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vielleicht hast du schon die regel für die ableitung einer umkehrfunktion gehört.

ich definiere hier ein f, und ein g, welches umkehrfunktion von f sein soll.

dann gilt: g ' (y) = 1/(f ' (g(y)))

das lässt sich leicht aus der kettenregel für das ableiten herleiten.

dafür lasse ich nun das x weg, damit ich weniger schreiben muss. (fg) ist dann kurz für f(g(x)). es gilt weiterhin f(g(x)) = x, weil f und g umkehrfunktion zueinander sind.

damit gilt einerseits (fg) ' = 1 (weil x abgeleitet ergibt 1)

andererseits gilt mit kettenregel (fg) ' = f ' g * g ' = 1 (wegen der vorherigen gleichung).

dann löst man nur noch nach g ' auf und erhält die gleichung für die ableitung der umkehrfunktion.

nun setzen wir f=tan und g=arctan.

dann erhalten wir arctan ' (y) = 1 / tan ' (arctan(y))

tan ' = (sin/cos) ' = (quotientenregel) (cos^2+sin^2)/cos^2 = (bruch aufteilen) 1 + tan^2.

nun müssen wir in die funktion (1+tan^2(x)) das argument arctan(y) einsetzen.

damit erhalten wir (1 + y^2) weil tan und arctan sich ja aufheben.

insgesamt erhalten wir also arctan ' (y) = 1 / (1+ y^2)

vielen dank kennst du zufälligerweise quellen im internet mit denen ich das hier belegen kann?

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@lanle

alles, was ich verwendet habe ist "kettenregel" und die tatsache, dass "tan=sin/cos"

das sollte bekannt sein.

der rest ist mathematik. (und zwar fehlerfrei vorgerechnet, evtl etwas zu knapp, am besten vollziehst du meine rechnungen nochmal nach)

also wie du siehst gibt es keine quellen.... das ist nicht so wie in anderen fächern... man braucht keine quellen. man rechnet. und dann erhält man das ergebnis, also die einzige quelle die ich dir nennen kann, ist das ergebnis selbst, welches du ja selber kennst. der rechenweg steht ja in meiner antwort. für rechenweg gibt es keine quellen, sondern nur richtig oder falsch.

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