Ableitung der Exponentialfunktion f(x)=x^n

Herleitung der Ableitung der Exponentialfunktion - (Mathe, Mathematik, Ableitung)

2 Antworten

Sieht auf den ersten Blick ganz gut aus ;) Die Formel für (a+b)^n kann man natürlich benutzen, wenn man sie schon bewiesen hat, was zumindest ohne die zu beweisende Aussage möglich ist (entsprechender systematischer Aufbau vorausgesetzt, ich weis ja nicht wofür du den Beweis brauchst, aber die Formel sollte eigentlich vor dem einführen von Differentialquotienten bekannt sein, wenn ich mich recht erinnere)

Ich bin im Gymnasium und wir haben das Thema gerade erst begonnen und mein Lehrer gibt mir 15 Punkte, wenn ich diese Herleitung vorführe, weswegen er im Unterricht heute das Paskallsche Dreieck durchgenommen hat. Meine Idee war einfach, dass das i unter dem Sigma immer dann um eins größer wird, wenn ich praktisch den ersten Teil der Summe herausziehe (für i=0 ist das ja einfach x^n und für i=1 ist es dann das gewünschte nx^n-1) Ich weiß eben nicht, ob der letzte Schritt gültig ist, weil ich ja schon weiß, was herauskommt und so eigentlich nach dem Therm "suchen" kann. Eine Begründung könnte vielleicht sein, dass nur dieser Teil der Summe kein h enthält, das ja gegen Null geht, und ich ihn deswegen herausziehe... naja

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@phi243

Das Umstellungen dadurch motiviert sind, das man das Ergebnis kennt ist durchaus zulässig. Es ändert schließlich nichts an der mathematischen Korrektheit des Schrittes ;). In der Vorstellung des Beweises ist es natürlich schöner zu sagen, das alle anderen Summanden für h gegen 0 ebenfalls gegen 0 gehen, und somit nur noch dieser Term übrig bleibt.

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@DrAbeNikIanEdLe

es ist übrigens noch ein Fehler drin: ich darf das h erst am Schluss ausklammern, weil es sich sonst mit h^i-1 nicht ausgeht.

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Der Beweis geht sehr viel einfacher und allgemeiner: per Exponentialfunktion, Kettenregel, Faktorregel und die Regel für die Ableitung der Logarithmusfunktion siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzregel

"2. Fall: Beliebiger Exponent "

Hinweise zu Deinem Bild:
- in der ersten Zeile fehlt ein Semikolon zum Trennen der 2 Gleichungen
- nur für ganze Exponenten geeignet

Die erste Möglichkeit kannte ich schon (meine ist im Endeffekt auch nur die Zuhilfenahme des Binomialkoeffizienten), die zweite kannte ich noch nicht. "nur für ganze Exponenten geeignet" kann ich diese nicht auch miteinbeziehen, indem ich einfach die Kettenregel verwende?

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@phi243

"nur für ganze Exponenten geeignet" bezog sich auf Dein Bild
" auch miteinbeziehen" - wo einbeziehen?

Der Beweis "2. Fall: Beliebiger Exponent " ist allg. gültig, kurz und für beliebigen Exponenten. Alles andere sind Umwege mit Einschränkungen.

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