Ableitung: Bei einem Bruch mit ln im Zähler

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5 Antworten

Diese Monsterzusammenstellungen sind schon reichlich haarig.
Da man u und v braucht, ist es am besten, diese erst einmal für sich abzuleiten, zumal wenn sie auch noch verkettete Funktionen enthalten und dann zum Schluss nach der Quotientenregel das Endergebnis zu bilden.

u = ln (x^2 +1)
Gekettete Funktionen lassen sich am besten ableiten, wenn man sich die Klammer als x vorstellt und dann nochmal die Klammer selbst ableitet. Da ln (Klammer) die Ableitung 1/Klammer hätte und (x² +1) abgeleitet 2x wäre, ist klar

u' = 2x / (x² + 1)

v = (3x-4)^5
Das ist noch einfacher.
(Klammer) ^5 ist abgeleitet 5 (Klammer) ^4,
das nochmal multipliziert mit der Ableitung von (3x - 4), das ist 3, ergibt

v' = 15 * (3x - 4) ^4

Das jetzt in die Quotientenformel einzusetzen, ist reine Abschreibarbeit. Man muss ja überall nur noch (meinethalben eckige) Klammern drum herum schreiben. Die Hauptsache ist bereits getan.

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Volens 12.11.2014, 23:43

Damit es keinen Doppelbruch gibt, wäre u' zu schreiben in der Form
u' = 2x * (x² + 1) ^(-1)

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Volens 12.11.2014, 23:48
@Volens

Aus dem Endergebnis müsste dann noch (3x - 4) ^4 herauszukürzen sein.

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( ln g(x) ) / h(x) =

  • Quotientenregel und Kettenregel für die Verkettung ln f(x):

( g'(x) / g(x) * h(x) - (ln g(x)) * h'(x) ) / h²(x)


Mit:

  • g(x) = x² + 1;
  • g'(x) = 2x;
  • h(x) = (3x -4)^5;
  • h'(x) = 5(3x -4)^4 * 3 =15(3x -4)^4

folgt:

f'(x) = ( 2x / (x² + 1) * (3x -4)^5 - ln(x² + 1) * 15(3x -4)^4 ) / (3x -4)^10

stekum meint das anscheinend auch.


Die Maschine meint:

f'(x) = ( 2x (3x -4) / (x²+1) -15ln (x²+1) )/(4 -3x)^6,

d.h. sie klammert noch (3x -4)^4 aus und kürzt diesen Term.


Ich nehme an, bei dir sollte die Ableitung heißen

3(4x-1)² • 4 • ln(x^4 +1) - (4x-1)³ • (4x^3/(x^4+1)) / (ln (x^4+1))²

(mit eingeklammertem Nenner "(x^4+1)"), weil du das sonst sicher noch gekürzt hättest.

Dieser Term ist von den angegebenen Lösungen verschieden. Ich kann nicht sagen, wie er zustandekommt, sondern nur, dass er falsch ist.

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Lösung kann ich leider mit Quotienten u Kettenregel nicht nachvollziehen; bist du sicher mit der Lösung?

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es gibt Regeln zum Ableiten, die Quotientenregel sagt:

ist f(x)=u(x)/v(x) dann ist f''(x)=(u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x))/(v(x))²

hier sind allerdings u und v selbst verkettete Funktionen, die du vor dem Einsetzen noch anhand der Kettenregel ableiten musst.

ps: Die Kettenregel lautet u(v(x))=u'(v(x))*v'(x)
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Gelikafkal 12.11.2014, 23:10
ich habe mich vertippt, es muss f'(x)=(u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x))/(v(x))² heißen
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f‘(x) = { 2x • [(x² + 1)^-1] • (3x – 4)^5 – ln(x² + 1) • 5 • [(3x – 4)^4] • 3} / (3x – 4)^10

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