Ableiten von e Funktion?

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6 Antworten

Entweder löst du die Klammer nach der 2. binomischen Formel und der Regel

a^b * a^c = a^(b+c) bzw (a^b)² = a^(2b) auf, und erhältst

4-4*e^(-x)+2*e^(-2x), was du dann nach der Summandenregel ableitest

oder

du benutzt direkt die Kettenregel, leitest also den Klammerausdruck einmal ab, und leitest dann die äußere Funktion, also Klammer zum Quadrat ab, multiplizierst dann beides, und solltest auf das selbe Ergebnis kommen.

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Hier kannst du auch ganz einfach die Produktregel anwenden -->

f(x) = (2 - e ^ (-x)) ^ 2

Dafür kannst du auch schreiben -->

f(x) = (2 - e ^ (-x)) * (2 - e ^ (-x))

f(x) = u(x) * v(x)

In der Kurzschreibweise -->

f = u * v

Die Produktregel lautet dann -->

f´ = u * v´ + v * u´

u = 2 - e ^ (-x)

u´ = e ^ (-x)

v = 2 - e ^ (-x)

v´ = e ^ (-x)

Da hier u * v´ zum gleichen Ergebnis führt wie v * u´ recht es das einmal auszurechnen -->

(2 - e ^ (-x)) * e ^ (-x) = 2 * e ^ (-x) - e ^ (-2 * x)

Das kann man noch umschreiben -->

2 * e ^ (-x) - e ^ (-2 * x) = 2 / (e ^ (x)) - 1 / (e ^ (2 * x))

Da man das aber wegen u * v´ und v * u´ zweimal hat muss es noch mit 2 multipliziert werden -->

f´(x) = 4 / (e ^ (x)) - 2 / (e ^ (2 * x))

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Kommentar von Drainage
01.03.2017, 16:44

Wieso macht ihr es denn alle so kompliziert? :O

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Musst du nicht! Wende die Kettenregel fürs Ableiten an 

(g(fx))' = g'(f(x))*f ' (x)

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Rein theoretisch wäre es auch möglich das Binom aufzulösen was wie folgt aussieht:

(2-e^-x)^2=2^2-2*2*e^-x+e^-2x

Einfache 2. binomische Formel, tu einfach so die e Funktion wäre eine Variable wie a oder b. Und e^-x^2 =e^-2x nach Potenzgesetz ;)

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Hier hast du eine doppelte Kettenfunktion:

x^2 =u und 2-e^x =v

f'(x)=u'(v(x))*v'(x)

Also Erstmal f'(x)= 2(2-e^-x)*e^-x

Vereinfachen über lass ich dir selber ein bissl muss man auch selber machen ;P

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Ganz simpel Kettenregel anwenden: 2*(2-e^(-x))*e^(-x)

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