Ableiten dieser Formel, kann mir das jemand erklären?

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5 Antworten

f(t) = e ^ t / ((1 + e ^ t) ^ 2)

Dafür kannst du auch schreiben -->

f(t) = (e ^ t) * (1 + e ^ t) ^ (-2)

Ableiten kannst du das jetzt mit der Produktregel -->

f(t) = u(x) * v(x)

f´(t) = u(x) * v´(x) + v(x) * u(x)

Auf dein Beispiel angewendet bedeutet das -->

u(x) = e ^ t

v(x) = (1 + e ^ t) ^ (-2)

u´(x) = e ^ t

Die Berechnung von v´(x) ist etwas komplizierter und kann über die Kettenregel erreicht werden.

innere Funktion -->

s= 1 + e ^ t

innere Ableitung -->

s´ = e ^ t

äußere Funktion -->

s ^ (-2)

äußere Ableitung -->

(-2) * s ^ (-3)

innere mal äußere Ableitung -->

e ^ t * (-2) * s ^ (-3)

Nun für s das einsetzen für das das s steht -->

v´(x) = -(2) * e ^ t * (1 + e ^ t) ^ (-3)

Das kann man noch umschreiben -->

v´(x) = (- 2 * e ^ t / ((1 + e ^ t) ^ 3))

Nun hast du alles zusammen um die Produktregel anwenden zu können, zur Erinnerung -->

f´(t) = u(x) * v´(x) + v(x) * u(x)

f´(t) = e ^ t * ((- 2 * e ^ t / ((1 + e ^ t) ^ 3)) + (1 + e ^ t) ^ (-2) * e ^ t)

Das kann man noch vereinfachen und außerdem das e ^ t ausklammern -->

f´(t) = e ^ t * ((- 2 * e ^ t / ((1 + e ^ t) ^ 3)) + 1 / ((1 + e ^ t) ^ 2))

Laut Wolfram Alpha kann das sogar nochmal vereinfacht werden zu -->

f´(t) = (- e ^ t) * ((e ^ t) - 1) / (((e ^ t) + 1) ^ 3))

https://goo.gl/FihWNp

Das ist die erste Ableitung, du sollst ja auch die zweite Ableitung bilden, das geht auch entweder wieder über die Produktregel und Kettenregel oder über die Quotientenregel, wie andere Leute dir schon geschrieben haben.

Wie man jetzt die zweite Ableitung berechnet zeige ich dir aber das Zeitgründen nicht auch noch mal, das sollst du ja auch selber machen, sonst lernst du nichts.

DepravedGirl 05.03.2017, 20:54

Vielen Dank für die Auszeichnung !

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Einfach mit der Quotientenregel ableiten.

            u(x)                    u'v - uv'
f(x) = —— f'(x) = ——            v(x)                          v²

Die Parameterklammern habe ich der Übersichtlichkeit bei der Ableitung mal weggelassen. Und da du eh einige e-Funktionen da drin hast, ist die Ableitung sowieso kein Drama. ;)

Willibergi 27.02.2017, 17:15

Da ist der eine Zeilenumbruch leider flöten gegangen.

Das sollte dort stehen:


            u(x)                   u'v - uv'
f(x) = —— → f'(x) = ——
            v(x)                        v²

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Hallo Krawatte1123,

ableiten erfolgt mit der o.g. Quotientenregel. Die Bilder zeigen das Ergebnis.

Gruß von leiermann

erste Abl. - (Schule, Mathe, Mathematik) zweite Abl. - (Schule, Mathe, Mathematik)

  Eine Un-ver-schämt-heit. Ich schicke ab - wo ist mein Text???

  Vielleicht so.

                         exp ( t )

    f ( t ) := ------------------------------ =  ( 1a )

                     [ exp ( t ) + 1 ] ²

  

     Kürzen durch die e-Funktion

                         4            

      = ---------------------------------------  =  ( 1b ) 

          4 [ exp ( t/2 ) + exp ( - t/2 ) ] ²

  =  1 / [  4  cosh  ²  (  t/2  )  ]    (  1c  )

   Wir formen noch um mit dem Additionsteorem

   cosh ² ( t/2 ) + sinh ² ( t/2 ) = cosh ( t )  ( 2a )  

   cosh ² ( t/2 ) - sinh ² ( t/2 ) =  1    ( 2b ) 

   Das LGS ( 2ab ) hat die Lösung: Mittelwert aus den rechten Seiten.

cosh ² ( t/2 ) = 1/2 [ cosh ( t ) + 1 ]

    f  (  t  )  =  1 / 2 [ 1 + cosh ( t ) ]   ( 3 )

  
Jetzt auf einmal wird alles transparent. Wir haben gerade Symmetrie in
Bezug auf t = 0 ;  t = 0 muss ein Maximum sein. Für t ===> ( °° )
verebbt ( 3 ) gegen ( + 0 ) ; wir erwarten einen WP . Ich schick aber
erst mal ab, weil dieser Editor so instabil ist.

gilgamesch4711 28.02.2017, 03:19

  Den WP finden wir am Leichtesten, indem wir diesen Bruch weg machen. Diese Technik bezeichnet man als ===> implizites Differenzieren ( ID ) weil nirgends für die Ableitungen eingesetzt wird; die Ableitungen bleiben quasi stehen wie Unbekannte.

  [ 1  +  cosh  (  t  )  ]  y  =  1/2    (  2.1  )

   Es gibt nun eine verallgemeinerte Produktregel, die ===> Leibnizregel ( siehe Courant Band 2 )  mit der kannst du auch höhere Ableitungen bestimmen, auch die 4 711. Doch begnügen wir uns erst mal mit der ersten Ableitung von ( 2.1 )

 [ 1  +  cosh  (  t  )  ]  y ' + y sinh ( t ) = 0   ( 2.2 )

   Die Leibnizregel folgt dem binomischen Lehrsatz; für 2. Ableitung

    ( u v ) " = u " v + 2 u ' v ' + u v "   ( 2.3a )

   Wir bilden sie aus dem Stand direkt aus ( 2.1 ) ; Aussage ( 2.2 ) betrachten wir ( einstweilen ) als entbehrlichen Umweg. u seze ich gleich y und v gleich der eckigen Klammer

 [ 1 + cosh ( t ) ] y " + 2 y ' sinh ( t ) + ... ( 2.3b )

   + y cosh ( t ) = 0    ( 2.3c )

   ( 2.3bc ) ist zunächst mal eine allgemein gültige Identität. ID äußertm sich aber insbesondere in dem überlegenen Standpunkt, dass wir in ( 2.3bc ) sang-und klanglos setzen y " = 0 als Bedingung für WP . Dann überlebt nur noch

  2 y ' sinh ( t ) + y cosh ( t ) = 0   ( 2.4 )

   Jetzt tritt mal einen Schritt zurück; und denke rein formal juristisch. ( 2.2;4 ) bilden ein LGS zur Bestimmung der beiden Unbekannten y und y ' Jetzt magst du einwenden, die intressieren doch gar nicht; gesucht ist doch t .

   Aber hier passiert was ausgesprochen Komisches; ( 2.2;4 ) ist ein HOMOGENES LGS . Rechts steht nämlich " indentisch " gleich Null, eine unmittelbare Folge des ID. Eine Konstante, die sowieso nicht intressiert, die nur einen Maßstabsfaktor darstellt,  hat sich quasi von Selbst verabschiedet; wir stoßen vor in das innerste Wesen des Problems.

   Ein homogenes LGS hat natürlich immer die triviale Lösung

     y  =  y  '  =  0     (  2.5  )

   aber die muss falsch sein, weil ja f ( x ) mit Sicherheit keine Nullstellen hat. Tjaa; wann hat ( 2.2;4 ) nicht verschwindende Lösungen? Jetzt wäre die Frage, wie tief du schon in AGULA eingedrungen bist; es geht nur, wenn ( 2.2;4) ===> linear abhängig, und das äußert sich darin, dass ihre ===> Determinante verschwindet.

  det = cosh ( t ) [ 1  +  cosh  (  t  )  ]  -  ...  ( 2.6a )

    -  2  sinh  ²  (  t  )  =  0     (  2.6b  )

     cosh ( t ) + cosh ² ( t ) - 2 sinh ² ( t ) = 0    ( 2.6c )

 

    Jetzt Pytagoras

 

     sinh ² = cosh ² - 1    ( 2.7a )

     cosh  ²  (  t  )  -  cosh  (  t  )  -  2  =  0  (  2.7b  )

   Ich polemisiere wieder mal gegen die größte Fälschung der Matematikgeschichte; Wiki schreibt nämlich den ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Gauß zu.  Der SRN bietet einen exzellenten Handshake mit Vieta; praktisdch im Kopf kannst du ablesen, dass die Wurzeln der quadratischen Gleichung ( 2.7b ) sein müssen

 

    x1  =  (  -  1  )  ;  x2  =  2     (  2.7c  )

   Mein Standardkapitel zu dieser Fälschung muss hier aus Platzgründen leider ausnahmsweise entfallen.

    cosh  (  t  )  =  2    (  2.8a  )

   u  :=   exp  (  t  )    (  2.8b  )

    u  ²  -  4  u  +  1  =  0   |  MF   (  2.8c  )

    u1;2  =  exp  (  t  )  =  2  -/+  sqr  (  3  )   (  2.8d  )

   ( Natürlich haben wir rein vom Satz von Vieta her in der quadratischen Gleichung ( 2.8c ) q = 1 ; die beiden Wurzeln ( 2.8d ) müssen ja invers sein, da ihre Logaritmen entgegen gesetztes Vorzeichen haben wegen der Achsensymmetrie. )

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gilgamesch4711 28.02.2017, 03:30
@gilgamesch4711

  Die Community regt mich echt auf.

  " Das kannst du auch selber machen; sonst lernst du nichts. "

  wir hatten eine Lehrerin, die polemisierte immer gegen Streber und Autodidakten

  " Wer sich selber was beibringt, ohne auf mich zu hören, läuft Gefahr, sich was Falsches beizubringen. "

  siehst du doch;  mein Weg gilt als kanonisch, als vorbildlich. Ich hab schließlich drei Silvester Mensa. Vergleich doch mit dem Murx, der hier abgeliefert wurde. 

  " Sie wandeln in der Nacht der Finsternis; der Herr hat sie mit Blindheit geschlagen ... "

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