abelsche Gruppe , kann jemand sagen, ob ich die Aufgabe richtig löse?

...komplette Frage anzeigen abelsch - (Mathematik, abelsche Gruppe)

1 Antwort

Hallo!

G = { (x₁,x₂,x₃)' :  x₁,x₂,x₃ ∈ ℝ }

und für X = (x₁,x₂,x₃)' und Y = (y₁,y₂,y₃)' ∈ G: X + Y ≔ (x₁+y₁,x₂+y₂,x₃+y₃)

Dann ist die Abgeschlossenheit gegeben weil für xᵢ,yᵢ ∈ ℝ auch xᵢ+yᵢ ∈ ℝ und damit X+Y ∈ G.

Ebenso Assoziativität wegen xᵢ,yᵢ,zᵢ ∈ ℝ ⇒ (xᵢ+yᵢ)+zᵢ = xᵢ+(yᵢ+zᵢ) und also X,Y,Z € G ⇒ (X+Y)+Z = X+(Y+Z)

Für ein Neutrales Element N ∈ G muss gelten: N + X = X, also nᵢ + xᵢ = xᵢ. offensichtlich ist das der Fall für nᵢ = 0 und damit ist N = (0,0,0)' ∈ G, weil 0 ∈ ℝ.

Inverses Element und Kommutativität folgen genauso komponentenweise.

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Tanechka25 06.11.2016, 13:33

Dann ist meine Lösung total falsch oder...?

ich muss diese Tabelle gar nicht zeichnen, ja?

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Physikus137 06.11.2016, 15:42
@Tanechka25

Ja, die Tabelle ist falsch. für Z = X + Y, ist ja per Definition z₁ = x₁ + y₁, z₂ = x₂ + y₂ und z₃ = x₃ + y₃. Terme mit gemischten Indizes kommen gar nicht vor.

Die ganze Gruppenstruktur wird quasi von ℝ geerbt, da nur korrespondierende Komponenten (x- und y-Werte mit gleichem Index) addiert werden und diese sind ja reelle Zahlen.

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