a*b=0 <=> a=0 oder b=0

...komplette Frage anzeigen

3 Antworten

Ich denke schon, dass das geht, s.u. - Die Aussage gilt auch in Schiefkörpern, denn das Axiom "Kommutativität der Multiplikation" wird nicht benötigt .- Ich brauche:

Existenz des additiv neutralen Elements;

Assoziativität der Multiplikation

Existenz des (von links und von rechts) multiplikativ neutralen Elements;

Existenz des von links oder von rechts multiplikativ inversen Elements;

Distributivität.


A. Sei 0 das additiv neutrale, 1 das mulitpilikativ neutrale Element eines Körpers K. Dann gilt für alle x ∈K:

0 * x + x =

0 * x + 1 * x =

(0 + 1) * x =

1 * x = x,

daher 0 * x = 0. - In gleicher Weise zu zeigen ist:

x * 0 = 0.


B. Vorausgesetzt: a * b = 0 für a,b ∈ K. - Behauptet: a = 0 oder b = 0

Fall 1: a = 0.

Dann ist nichts zu beweisen.

. . .

Fall 2: a ≠ 0.

Dann existiert ein a^(-1) mit a(-1) * a = 1. Aus

a * b = 0 folgt mit Multiplikation mit a^(-1) von links:

a^(-1) * a * b = a^(-1) * 0, Definition des multiplikativ Inversen:

1 * b = a^(-1) * 0, mit A.:

1 * b = 0;

b = 0, q.e.d.

Entsprechende Fallunterscheidung für , wenn (ausschließlich) ein von rechts multiplikativ inverses Element b^(-1) existiert.


C. Vorausgesetzt: a = 0 oder b = 0. - Behauptet: a * b = 0 für a,b ∈ K.

Mit a * b = 0 * b

oder a * b = a * 0

folgt a * b = 0 dann direkt mit A.

Ich würde sagen, wenn oBdA b /= 0 (b ungleich 0), dann hat b ein inverses b^-1, sodass b * b^-1 = 1

=> a * b * b^-1 = a = 0 * b^-1 = 0

=> a = 0

a * b=0 => a=0 oder b=0

<=>

(a ungleich 0 und b ungleich 0) => a * b ungleich 0

Es gilt: nur wenn a ungleich 0 bzw. b ungleich 0, existieren die multiplikativen Inversen:

a^-1 bzw. b^-1

also:

a * b ungleich 0 .................... * a^1 * b^-1

<=> 1 * 1 ungleich 0 ............... wahre Aussage

denn 1 * 1 ......... Multiplikation mit neutralem Element

0

Was möchtest Du wissen?