a<=b <=> a^3 <= b^3 wie zeige ich das mathematisch korrekt?

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3 Antworten

Ich würde es so probieren zu zeigen:

a ≤ b ⇔ a + x = b mit x ≥ 0
b³ = (a + x)³ = a³ + a²x + ax² + x³ ≥ a³, weil a²x + ax² + x³ ≥ 0 ist, weil x³ ≥ 0 ist weil x ≥ 0 ist.

Hmm, hab glaube ich ax² nicht berücksichtigt. Muss nochmal überlegen...

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Kommentar von Suboptimierer
08.11.2016, 12:20

z. z.: a²x + ax² + x³ ≥ 0 (für x=0 sofort ersichtlich)

:x ( ≥ bleibt bestehen, da x positiv ist)

a² + xa + x² ≥ 0
(a+x/2)² +3/4 x² ≥ 0

()² ≥ 0 und 3/4 x² ist auch ≥ 0

Ich hoffe, das ist nicht zu umständlich und dass man das so lassen kann.

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Gibt verschiedene Möglichkeiten. Man könnte z.B. das Monotonieverhalten der Funktion f(x) = x^3 nutzen

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Kommentar von PWolff
08.11.2016, 12:46

(Hab erst später gesehen, dass es nicht um Gleichheit, sondern um einen Vergleich geht - es geht hier also im Gegenteil darum, die Monotonie - sogar die strenge Monotonie - nachzuweisen)

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Fehlen da ein paar Klammern ?

Oder meinst du "kleiner-gleich", aber was ist dann <=> ?

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