a*0 =\= 0

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5 Antworten

Das kommt immer darauf an, worauf man verzichten kann. Die reellen Zahlen haben ja Eigenschaften, die die komplexen nicht haben - man kann sie z. B. anordnen, also immer entscheiden, welche von beiden größer ist. Diese Eigenschaft geht bei der Erweiterung verloren. In einem Zahlbereich, in dem es eine Lösung für deine Gleichung gäbe, würden andere Dinge nicht mehr gelten. Erst mal - was ist eigentlich Null? Null ist die Zahl, die man zu allen anderen Zahlen dazu addieren kann ohne sie zu verändern, also das neutrale Element der Addition. Für alle b ist b = b + 0. Wenn du das weglassen würdest, wäre die Null nicht mehr Null - das geht zu weit. Nun gilt aber das Distributivgesetz:

b * a = (b + 0) * a = b * a + 0 * a.

Außerdem gibt es zu jeder Zahl c eine Zahl -c mit

c + (-c) = 0.

Auch das ist eine ganz elementare Eigenschaft, auf die man nicht so gerne verzichten will. Dann ist aber auch

b * a - b * a = 0.

Außerdem weiß ich von eben ja noch

b * a = b * a + 0 * a.

Wenn ich jetzt auf beiden Seiten +(- b* a) rechne (auch das will ich ja auch in meinem neuen System schaffen), dann habe ich

(- b* a) + b * a = (- b* a) + b * a + 0 * a

Da bleibt über

0 = 0 * a.

Man muss also entweder darauf verzichten

  • dass a + 0 = a gilt (was die Bedeutung von 0 ad absurdum führt)

  • dass das Distributivgesetz gilt

  • dass es zu jedem c ein -c gibt

Solange das alles (und das sind ja alles elementare Dinge, die man beim Rechnen ständig braucht) gilt, kann es keine Lösung deiner Gleichung geben. Daher wäre ein Rechenbereich (also eine Menge auf der man rechnet) mit dieser Eigenschaft ganz schön doof zu händeln.

Was es aber gibt sind Mengen mit + und *, bei der man aus

a * b = 0

nicht schließen kann, dass a oder b Null ist. Das sind besondere Arten von sog. Ringen.

Sei a * 0 = x. Dann gilt
a * 0 = a * (0 + 0) = a * 0 + a * 0 = x + x = x. Dies führt zu x = 0.
Du siehst, sobald du das Distributivgesetz forderst, ist die Sache gegessen.

nun ..... du kannst nciht so einfach ein widerspruch-freies system entwickeln mit a * 0 != 0.

die reellen zahlen (auch die komplexen) sind widerspruchsfrei bzgl. ihrer axiome. und aus eben diesen axiomen lässt sich beweisen, dass 0 * a=0.

du brauchst andere strukturen als das gewöhnliche. es gibt zB einen "null-ring". in diesem ring gilt "1=0", aber man kann auch beweisen, dass dies der einzige null-ring mit dieser eigenschaft ist.

also dann suche doch mal eine mathematische struktur mit dieser eigenschaft ;)

viel glück.

man sollte dabei wohl anmerken, dass "0" ("null") für das neutrale element einer kommutativen verknüpfung steht ("+" "plus"). d.h. wenn du mit der 0 rechnest:

a * 0=(0+0) * a => a * 0 = a * 0 + a * 0 => (a * 0) = 2 * (a * 0) <=> 2x=x (nur für 0 erfüllt => a * 0 = 0)

du müsstest also eine struktur finden, die auf eine additive verknüpfung beruht, welche selbst aber wiederumden widerspruch liefert, es sei denn du findest eine definition für eine addition mit der eigenschaft, dass x+x=x (und das auf sinnvolle art und weise)

es wird sich sicherlich, egal wie oft man das problem auf eine adnere seite schiebt (nun ist das problem nur noch die "addition"), ein widerspruch zu finden sein, denn es ist nicht einfach ein widerspruchfreies system zu finden.

anmerkung: das hat dann aber mit "strukturen" zu tun, das ist was ganz anderes als "zahlen-bereiche"

egal welche zahl du nimmst es wird immer 0 rauskommen.einfach deshalb weil ALLES was man mal null macht auch zu 0 wird. fügt man noch irgendwoh eine andere rechenoperation ein würde es aber nicht mehr deiner fragestellung entsprechen.

Deshalb nein

P.S.Das was du sucht wäre die gleiche suche wie wenn man beweisen wollte ob 1+1=2 ist. Und dann wird es eher philosophisch als mathemathisch.

Eine Zahl erfinden??

Also momentan gibt es keine Zahl die das erfüllen kann.

AndreiK 24.03.2012, 20:02

die Komplexen Zahlen kannte man ja früher auch nicht, bis man auf die Gleichung x²+1=0 gestoßen ist

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