3. Binom mit höheren Potenzen?

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4 Antworten

Ganz allgemein gilt für

  • gerade Hochzahlen a^n - b^n = (a^(n/2) - b^(n/2)
  • gerade Hochzahlen a^n + b^n → nicht faktorisierbar!
  • ungerade: a^n - b^n = (a-b)·(a^(n-1)·b⁰ + a^(n-2)·b¹.....a¹·b^(n-2) + a⁰·b^(n-1)Bei + dazwischen: erste Klammer hat +, zweite Klammer abwechselnd - und plus
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Du kannst immer die dritte binomische Formel anwenden:

a⁶ - b⁶ = (a³ + b³)(a³ - b³)
          = (a³ + b³)(√a³ + √b³)(√a³ - √b³)
          = (a³ + b³)(a√a + b√b)(a√a - a√b)

usw.

Inwiefern das sinnvoll ist, ist die andere Frage.

Zum Ausmultiplizieren von höheren Binomen solltest du dir den binomischen Lehrsatz zur Hilfe nehmen. ;-)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :) 

LG Willibergi

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MrCoolMo 16.10.2016, 14:39

Aber wie komme ich z. B. darauf, dass a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) ist?

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Willibergi 16.10.2016, 14:43
@MrCoolMo

Da kommst du nicht drauf, weil es falsch ist.

Richtig wäre:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)² = (a - b)(a² - 2ab + b²)

LG Willibergi

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ralphdieter 17.10.2016, 07:47
@Willibergi

Ihr habt beide Recht:

MrCoolMo untersucht a³-b³, und Du zerlegst (a-b)³.

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Kennst Du geometrische Reihen? Die lassen sich geschlossen darstellen:

    Σ[i=0..n-1] qⁱ = (1-qⁿ) ∕(1-q)  (für q≠1)

Mit q = b ∕ a ergibt das:

    Σ[i=0..n-1] aⁿ⁻¹⁻ⁱ·bⁱ = (aⁿ-bⁿ) ∕(a-b)

Also:

    aⁿ - bⁿ = (a - b)·( aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + aⁿ⁻³b² + … + bⁿ⁻¹ )

Für ungerades n ist das wohl alles, was allgemein geht. Und dass Du a²ⁿ - b²ⁿ besser faktorisieren kannst, haben ja andere schon gesagt.

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Klar.

Dazu nutzt den Binomischen Lehrsatz, siehe https://de.m.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz, und als Hilfe das Pascalsche Dreieck, https://de.m.wikipedia.org/wiki/Pascalsches_Dreieck.

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MrCoolMo 16.10.2016, 14:24

Ich versteh wie das bei den ersten 2 Binomen geht also (a-b)^3=a^3-3ba^2+3ab^2-b^3 aber nicht wie es bei der dritten binomischen Formel geht a^3-b^3=?

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MatthiasHerz 16.10.2016, 14:42

a^3 - b^3 ist ja auch keine Binomische Formel.

Bei „Exponent 3” hast

(a + b)^3
(a - b)^3
(a + b)(a - b)^2 o. (a + b)^2 (a - b)

Die dritte Zeile kannst auf das Rrste oder Zweite Binom zurückführen und ausmultiplizieren, die ersten beiden löst über das Pascalsche Dreieck.

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