2 gleiche Mengen ergeben immer bijektiv?

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1 Antwort

Zuerst musst du „endlich“ Definieren. In der Mengenlehre ist die primitivste Definition (d. h. ohne Rückgriff auf das komplexe Konzept der natürlichen Zahlen) die folgende

Defn (Dedekind). Eine Menge X heißt dann unendlich, wenn es eine  Injektion ƒ : X –—> X gibt, die nicht surjektiv ist. Eine Menge heißt dann endlich, wenn sie nicht 

Umgeformt: X ist endlich ⟺ jede Injektion ƒ : X—>X ist automatisch surjektiv.

Nun mal zur Behauptung.

Beh. Seien X, Y endlich mit |X|=|Y|. Dann ist jede injektion ƒ : X—>Y automatisch surjektiv.

Beweis. Dass |X|=|Y| heißt genauer, es gibt eine Bijektion g : Y—>X (oder andersrum, es ist äquivalent).

  • Darum ist die Verkettung h := gƒ : X—>X als Verkettung injektiver Funktionen wiederum injektiv.
  • Da X Dedekind-endlich ist, muss h surjektiv sein.
  • Die Verkettung g¯¹h : X—>Y als Verkettung surjektiver Funktionen ist wiederumg surjektiv. Nun gilt aber g¯¹h=g¯¹(gƒ)=ƒ. Also ist ƒ surjektiv.

QED

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