2 gleiche Mengen ergeben immer bijektiv?

1 Antwort

Zuerst musst du „endlich“ Definieren. In der Mengenlehre ist die primitivste Definition (d. h. ohne Rückgriff auf das komplexe Konzept der natürlichen Zahlen) die folgende

Defn (Dedekind). Eine Menge X heißt dann unendlich, wenn es eine  Injektion ƒ : X –—> X gibt, die nicht surjektiv ist. Eine Menge heißt dann endlich, wenn sie nicht 

Umgeformt: X ist endlich ⟺ jede Injektion ƒ : X—>X ist automatisch surjektiv.

Nun mal zur Behauptung.

Beh. Seien X, Y endlich mit |X|=|Y|. Dann ist jede injektion ƒ : X—>Y automatisch surjektiv.

Beweis. Dass |X|=|Y| heißt genauer, es gibt eine Bijektion g : Y—>X (oder andersrum, es ist äquivalent).

  • Darum ist die Verkettung h := gƒ : X—>X als Verkettung injektiver Funktionen wiederum injektiv.
  • Da X Dedekind-endlich ist, muss h surjektiv sein.
  • Die Verkettung g¯¹h : X—>Y als Verkettung surjektiver Funktionen ist wiederumg surjektiv. Nun gilt aber g¯¹h=g¯¹(gƒ)=ƒ. Also ist ƒ surjektiv.

QED

Surjektiv, injektiv, bijektiv, warum?

Hallo ihr Mathegenies,

ich stelle die Frage jetzt zum 2. Mal, da sie beim letzten Mal einfach gelöscht wurde. Keine Ahnung warum. Es handelt sich um keine Hausaufgabe, es geht mir um das Verständnis. Ich suche hier eben Rat bei Leuten, die sich in Mathe besser auskennen, als ich.

Hier nun meine Frage:

Warum sind folgende Funktionen sur-,in- bzw. bijektiv, oder weder das eine, noch das andere?

I) [-4,4] --> [0,5] , f(x) = |3-s|x||                                     surjektiv

II) [1,unendlich[ --> [0,unendlich[ , f(x) = ln x            bijektiv

III) [-pi/4, pi/4] --> [-1,1] , f(x) = (cos x)² - (sin x)²       weder, noch

IIII) ]-1,1[ --> [-1,1] , f(x) = x³                                          injektiv

 

Ich würde es bevorzugen, wenn der pubertierende Moderator seine Machtgelüste mit anderen Tätigkeiten stillen würde als damit, meine Fragen zu löschen. Falls es sich dabei um einen Systemfehler handelte, bitte den letzten Satz vergessen.

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[Mengenlehre] Schreibweise bei multiplen x?

Moin,

meine Frage bezieht sich auf die Mengenschreibweise. Allerdings hab ich ein (Logik)-Problem, wenn das x multipel ist.

Beispiel (normal):

A = { x | − 5 < x < 3 }

Beispiel (unverständlich):

A = { 3x | x (Teilmenge) Z}

Wie kann man das zweite Beispiel verstehen? Etwa: "Für das dreifache der Eingabe (x) gilt ..."?

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warum ist eine funktion surjektiv wenn sie rechtsinvertierbar ist?

und warum injektiv wenn sie linksinvertierbar ist?

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Sachanalyse zum Thema Geradensteigung

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Meine Frage an euch wäre, welche wichtge Punkte mir noch fehlen? Ich danke herzlich im Voraus! Gruß PAKE

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Nabend,

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kann mir jemand ein Beispiel nennen?

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