2. Ableitung, Überprüfung Wendepunkt / Terrassenpunkt?

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2 Antworten

Kurz gefasst:

Ein Terrassenpunkt ist ebenfalls ein Wendepunkt, nur mit der speziellen Eigenschaft, dass dort eine waagerechte Tangente vorliegt, also f´(xw) = 0.

Du berechnest also "ganz normal" Deine Wendepunkte. Gilt hierbei für eine bestimmte Stelle xw: f´´(xw) = 0 UND f´´´(xw) <> 0, dann liegt auf jeden Fall eine Wendestelle vor. Nun prüfst Du noch die Steigung. Ist diese null, hast Du einen Terrassenpunkt, sonst einen "normalen" Wendepunkt.

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Wendepunkt bedeutet, dass der Funktionsgraph an dieser Stelle von einer Links- in eine Rechtskurve wechselt, oder umgekehrt.
Um einen Extrempunkt der Funktion zu berechnen, setzt Du die erste Ableitung, die die Steigung der Funktion angibt, gleich 0.
Mit dem "Null setzen" der zweiten Ableitung ermittelst Du sozusagen den Extrempunkt der Steigung, also die Stelle an der die Steigung entweder ihr Maximum oder Minimum erreicht hat (ausgenommen Terrassen-(Sattel-)punkt).
Ein Terrasenpunkt liegt nun vor, wenn zusätzlich zu f''(x)=0 auch f'(x)=0 ist, z. B. bei f(x)=x³, d. h. in dem Punkt, in dem sich das Krümmungsverhalten ändert, ist auch die Steigung 0, d. h. praktisch, dass der Funktionsgraph immmer schwächer ansteigt (fällt) bis die Steigung 0 ist, und dann aber wieder stärker steigt (fällt). Bei einem "normalen" Wendepunkt steigt (fällt) der Graph auf einen bestimmten Maximal-(Minimal-)wert um anschließend schwächer zu steigen (fallen).

Um nun zu sehen, ob überhaupt ein Wendepunkt vorliegt, ist es sinnvoll, das Vorzeichenverhalten von f'' an der Stelle f''(x)=0 zu ermitteln. Wechselt f'' an der Stelle x das Vorzeichen, so hast Du einen Wendepunkt. Beispiel: f(x)=x^5
f''(x)=20x³; f'''(x)=60x²; bei x=0 könnte wg. f''(x)=0 ein Wendepunkt sein, aber f'''(0) ist ebenfalls 0. Du siehst aber, dass für x<0 f''(x) negativ und für x>0 positiv ist, daher hast Du trotz f'''(x)=0 einen Wendepunkt; bei f(x)=x^4 hast Du f''(x)=12x²; hier ist für x<0 und x>0 f''(x)>0, d. h. kein Vorzeichenwechsel, d. h. kein Wendepunkt.

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Spicy316 06.12.2015, 16:55

Danke auch an dich für die ausführliche Erläuterung

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