2. & 3. Ableitung bitte verständlich erklären?

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4 Antworten

Du hast eine Funktion. Diese leitest du ab und erhältst die 1. Ableitung (diese gibt die Steigung für jeden (differenzierbaren) Punkt der Funktion an)

Wenn du diese 1. Ableitung nochmal ableitest (nach genau den gleichen Regeln) erhältst du die 2. Ableitung. Nochmals ableiten-> 3. Ableitung und so weiter!

Zur Bedeuteung der Ableitungen:
die 1. Ableitung gibt die Steigung der Ausgangsfunktion an.
D.h. z.B., dass die Nullstellen der 1. Ableitung jene Stellen angeben, an denen die Steigung der Funktion = 0 ist (Maximum, Minimum oder Sattelpunkt)

Die 2. Ableitung gibt nun entsprechend die Steigung der 1. Ableitung an. Das ist die Krümmung der Funktion! Ist diese in einem Punkt negativ, so hat die 1. Ableitung in diesem Punkt eine negative Steigung.

Das wiederum heißt, die Steigung der Funktion wird weniger! Deshalb kann man mit der 2. Ableitung überprüfen, ob ein Extremwert ein Maximum oder ein Mimimum ist:
bei einem Maximum ist die Steigung zuerst positiv, wird im Maximum = 0 und wird dann negaiv - Das bedeutet aber: die Steigung wird negativer, die 2. Ableitung ist daher negativ.
Das beddeutet: bei einem Maximum muss 1. Ableitung = 0 sein und 2. Ableitung < 0.

Bei einem Minimum muss die 1. Ableitung ebenso = 0 sein, die 2. Ableitung aber positiv. (Das ergibt sich aus analoger Betrachtung)

Es gibt noch ein paar weitere Feinheiten, das würde aber hier zu weit führen!

Mein Tipp:
Zeichne freihändig einen (erfundenen) Funktionsverlauf auf und zeichne die 1. und 2. Ableitung dazu ein, indem du die Steigung abschätzt (z.B.: die Funktion beginnt mit einer hohen positiven Steigung (1. Ableitung ist in diesem Punkt ein hoher positiver Wert), flacht dann ab (1, Ableitung wird kleiner) wird 0 (1. Ableitung kreuzt die x-Achse) und dann negativ...)
Durch diese Übung bekommst du ein gutes Gefühl für Steigungen, Ableitungen und deren Zusammenhang!

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TIPP: Besorge dir ein Mathe-Formelbuch privat aus einen Buchladen.Da brauchst du nur abschreibeb.

siehe Kapitel "Funktionen" und "Differentationsregeln" und "elementare Ableitungen"

es geht um die Kurvendiskussion. Man will wissen,wo markente Stellen sind.

- Nullstellen

- Minimum

- Maximum

- Wendepunkt

- Sattelpunkt

Bedingung "Maximum" f´(x)=0 und f´´(x)<0

          "         "Minimum" f´(x)=0   "  f´´(x)>0

           "       "Wendepunkt"  f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null

           "       "Sattelpunkt"    f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null

                               und  f´(x)=0

HINWEIS: Der Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt,bei dem die Tangente parallel zur x-Achse liegt. Es gilt f´(x)=m=0 ,nennt man auch "Terassenpunkt".

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Wenn du weißt, wie du auf die 1. Ableitung kommst, dann schaffst du die zweite auch.

Beispielsweise:
f(x) = x²
f'(x) = 2*x
f''(x) = 2

Der Sinn der zweiten Ableitung ist die "Änderung der Änderung". Recht einfach und praxisnah lässt es sich durch ein physikalisches Beispiel erklären:

Du fährst Fahrrad mit 10 km / h. Das ist die erste Ableitung deines Weges ("Die Änderung der Position"). Jetzt trittst du schneller. Dadurch änderst du deine Geschwindigkeit ("Die Änderung der Geschwindigkeit"). Damit veränderst du auch deine Position, da du dich nun schneller fortbewegst.

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Da würde ich dir das empfehlen :

Die zweite oder dritte Ableitung brauchst z.b um Wendestellen oder Extremstellen einer Funktion zu bestimmen.

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Kommentar von Applwind
12.08.2017, 18:37

Die Ableitung von z.b

f(x) = 5x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x + 8
f'(x) = 20x^3 + 9x^2 + 4x + 6
f''(x) = 60x^2 + 18x + 4
f'''(x) = 120x + 18

Einfach immer nochmal ableiten.

Tipp : Wenn du Stammfunktionen bilden kannst, kannst du auch eine Probe durchführen.  

f'''(x) = 120x + 18
F(x) = (120x^2)/(2) + 18x + C
F(x) = 60 x^2 + 18x + C

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