1+1/x = e^(1/(1+x)), x>0?

Ist diese Gleichung analytisch auflösbar? Ich weiß, diese Gleichung hat so keine Lösung, aber wie kann man das zeigen?

Answer 1

Answer 2

Answer 3

[von jmaz17]

Mit z=1+1/x, z>1, hast du z*e^(z-1)=1 mit der eindeutigen Lösung z=1. Das geht nur, wenn x unendlich gross wird. Es gibt also keine reelle Lösung.

Oder eleganter: mit z=-1/(1+x), -1<z<0, ergibt sich 1+z=e^z. Es ist bekannt, dass e^z>=1+z mit Gleichheit genau dann wenn z=0. Das bedeutet aber wiederum x müsste unendlich gross sein.

Answer 4

[von Mathetrainer]

Durch Substitution. Setze

$1+\frac{1}{x}=u$ Dann hast du:

$u=e^u$ und

$\ln\left(u\right)=u$ Es gibt aber kein u was gleich ist mit ln(u).

Answer 5

[von Suboptimierer]

Gebilde der Form y = a(x)e^a(x) kannst du mit der Lambertschen W-Funktion lösen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion

Woher ich das weiß:

Studium / Ausbildung