0,999... = 1?

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6 Antworten

=> 1 = X = 0,999...

Korrekt.

Wie kann das sein?

Durch die Periodenschreibweise kommt eine Uneindeutigkeit in Dezimalsystem hinein. Das sollte aber nicht überraschen, es gilt ja auch 8/4=4/2=2/1. Dieselbe Zahl kann viele Schreibweisen haben. 2,5=2,50=2,500 etc. Hier hat man halt die Konvention, überflüssige Nachkomma-Nullen nicht hinzuschreiben. Gleichwohl verwendet man zB "2,50EUR" im Alltag, und 2,50=2,5. Zwei Schreibweisen, diesselbe Zahl

Mit "periode" entsteht eine weitere Uneindeutigkeit.

0,999... muss doch immer kleiner sein als 1?

Sollte man im ersten Moment meinen, ist aber nicht so. Deine Rechnung stimmt. Etwas präziser:

Der Wert einer periodischen Dezimalzahl ist als Grenzwert definiert, zB ist 0,(periode)3 der Wert, gegen den die Folge (0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; ...) strebt. Dieser Wert ist ein Drittel (die einzelnen Folgenglieder bleiben jedoch immer kleiner als 1/3, näheren sich 1/3 jedoch immer mehr an).

Entsprechend ist dann natürlich 0,(periode)9 der Wert, gegen den die Folge (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999;...) strebt. Diese Folge strebt aber gegen 1, daher ist 0,(periode)9 gleich 1. Ganz ebenso wie 0,(periode)3 gleich 1/3 ist.

Hallo HerrSchabernack

lustige Zahlenspielerei, wirklich !

Der 'Fehler' passiert schon beim ersten Schritt : Nehmen wir an, es sind wirklich nur 3 Nackommastellen vorhanden x = 0.999, dann ist 10*x eben nur 9.99 und nicht 9.999. Ganz gleich, wieviele Stellen man hinter dem Komma annimmt : Durch die Multiplikation mit 10 geht immer eine Nachkommastelle verloren. Deshalb ist die ganze Beweisführung (leider) nur ein Trick.

Mit vielen freundlichen Grüssen Thomas

Nehmen wir an, es sind wirklich nur 3 Nackommastellen vorhanden

Nicht die Pünktchen übersehen. Er hat 0,999... geschrieben und nicht 0,999. Er meint "periode 9" (leider kann man bei gf keinen Periodenstrich machen), und 0,periode9 ist genau gleich 1, das ist schon korrekt so. Siehe http://www.mathepedia.de/0,9999__1.aspx

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Ganz gleich, wieviele Stellen man hinter dem Komma annimmt : Durch die Multiplikation mit 10 geht immer eine Nachkommastelle verloren.

Es sind hier aber (anschaulich gesprochen) unendlich viele Nachkommastellen. Wenn man dann das Komma um eine Stelle verschiebt, sind es immer noch unendlich viele.

Etwas unendliches wird nicht endlich, nur weil man ein einziges Element herausnimmt. Die Rechnung ist schon richtig so. "Mathematischer" ist es aber mit unendlichen Reihen, siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalbruchentwicklung#Doppeldeutigkeit_der_Darstellung (den Abschnitt davor aber auch lesen!)

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@schuhmode

Hallo

wenn man der Unendlichkeit ein Element klauen darf, ohne dass sich die Unendlichkeit dabei ändert, dürfte man das ja auch 10 mal, 1000 mal oder unendlich mal machen und hätte dann immer noch unendlich. Mathematisch formuliert : Unendlich - Unendlich = Unendlich ?

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@TKElektronik

wenn man der Unendlichkeit ein Element klauen darf,

Einer unendlichen Menge, das war wohl gemeint.

dürfte man das ja auch 10 mal, 1000 mal

Korrekt.

Die Menge N = {1, 2, 3, 4, 5, ... } der natürlichen Zahlen ist offensichtlich unendlich. Ich entferne die 1 und erhalte:

{2, 3, 4, 5, 6, .... } immer noch unendlich. Ich entferne die 2:

{3, 4, 5, 6, .... } immer noch unendlich. etc

oder unendlich mal machen

Der Sprung ist nicht gestattet und für das vorliegende Problem auch unnötig. Man muss das Komma ja nur um eine Stelle verschieben. - Es ist dies auch die Methode, mit der man (oft jedenfalls) in der Mittelstufe die Umwandlung von periodischen Dezimalzahlen in Brüche erklärt. Da muss man ggf das Komma um mehrere Stellen verschieben, aber immer nur um endlich viele.

und hätte dann immer noch unendlich.

So ein Schluß vom Endlichen aufs Unendliche ist iA nicht zulässig. Wann man das darf und wann nicht muss jeweils genau geklärt werden.

Mathematisch formuliert : Unendlich - Unendlich

Das ist ein unbestimmter Ausdruck. Solange man nur endliche viele Elemente aus N entfernt, bleibt der Rest immer unendlich. Wenn man unendlich viele Elemente wegnimmt, ist verschiedenes möglich, da gibt es keine allgemeine Aussage mehr.

  • Ich kann zB die (unendliche) Menge aller Zahlen größer als 5 entfernen, dann bleibt die endliche Menge {1,2,3,4, 5} übrig.
  • Ich kann zB die (ebefalls unendliche) Menge der ungerade Zahlen herausnehmen, dann bleibt die (unendliche) Menge {2, 4, 6, 8, ...} der geraden Zahlen übrig.
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@notizhelge

Hallo notitzhelge

den Fall einmal von einer anderen Seite betrachtet :

limes (n-1)/n für n gegen unendlich = 1

mfG Thomas

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@TKElektronik

limes (n-1)/n für n gegen unendlich = 1

Was hat das jetzt mit o. g. Problem zu tun?

wenn man der Unendlichkeit ein Element klauen darf, ohne dass sich die Unendlichkeit dabei ändert, dürfte man das ja auch 10 mal, 1000 mal

Das ist richtig. Solange ich endlich viele Elemente einer unendlichen Menge entferne, bleibt sie unendlich.

oder unendlich mal machen und hätte dann immer noch unendlich.

Hier liegt der Fehler: Das ist im Allgemeinen falsch. Mal ein Beispiel: Wenn ich von den natürlichen Zahlen alle geraden entferne, hab ich immer noch unendlich viele ungerade Zahlen - ich habe aber unendlich viele entfernt. Wenn ich die natürlichen Zahlen bis auf ihre Primzahlen ausdünne, so ist auch diese Menge unendlich groß. Wenn ich nun aber alle natürlichen Zahlen aus den natürlichen Zahlen entferne, habe ich als Element nur noch die leere Menge in IN.

Die Welt des Unendlichen ist also nicht so einfach, wie du denkst ;)

MFG

PS: Hab grad gesehen, dass Notizhelge das fast genauso geschrieben hat, wie ich. Ich lass es trotzdem mal stehen :)

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@mathgeek007

Hallo mathgeek007

wenn Du wirklich an der Grundfrage interessiert wärst, würdest Du als Mathematiker sicher auch den Sinn der Grenzwertbildung erkennen.

Die 'Welt' des Unendlichen betrachte ich doch überhaupt nicht als einfach, das ist eine Unterstellung von Dir.

Mit vielen freundlichen Grüssen Thomas

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Periode 9 gibt es nicht!

Periode 1 ist ja 1/9, Periode 2 ist 2/9 und so. Und Periode wäre dann 9/9...und das ist 1.

Naja, man kann "periode 9" per Definition ausschließen, wenn man die Dezimaldarstellung eindeutig machen will. Das beantwortet die Frage aber nicht wirklich, denn dann muss man ja fragen warum man "periode 9" ausschließt, dh warum 0,p9=1 ist.

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Nein das ist schon richtig. 0,999... ist gleich 1. Kannstu du dir auch ganz einfach vorstellen: 1/3 ist 0,333... 2/3 ist 0,66666.... und 3/3 müsste also 0,999... sein. Es ist aber 1. Also muss beides das selbe sein

Nein, das siehst du schon ganz richtig. Das kannst du dir an folgender Gleichung ebenfalls klarmachen:

1/3 = 0,3333.....

=> 3 * 1/3 = 3 * 0,33333......

=> 1 = 0,999999.....

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