(-(1/3)x^3) + 3x = (3/4)x - (9/2) Wie komme ich auf die Lösung?

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(- (1 / 3) * x ^ 3) + 3 * x = (3 / 4) * x - (9 / 2)

Das Newton-Verfahren wurde dir schon genannt, deshalb zeige ich dir jetzt noch mal eine andere Iteration, nämlich die Fixpunktiteration.

Dazu bringst du die Formel von oben auf eine andere Form :

3 * x = (1 / 3) * x ^ 3 + (3 / 4) * x - (9 / 2)

x = (1 / 9) * x ^ 3 + (3 / 12) * x - (9 / 6)

x = (1 / 9) * x ^ 3 + (1 / 4) * x - (3 / 2)


(1 / 9) * x ^ 3 = (3 / 4) * x + (3 / 2)

x ^ 3 = 9 * ((3 / 4) * x + (3 / 2))

x = ( 9 * ((3 / 4) * x + (3 / 2))) ^ (1 / 3)

Das ist eine sogenannte Fixpunktgleichung.

Selbstverständlich hättest du das auch auf eine andere Fixpunktform bringen können.

Manche Fixpunktformen könnten konvergieren und manche nicht, das ist ziemlich experimentell bzw. intuitiv, hat viel mit ausprobieren zu tun.

Du brauchst dafür keine Ableitung bilden.

Du musst einen geeigneten Startwert für x haben, damit es auch konvergiert.

Ich habe es auf meinem Computer ausprobiert und die Fixpunktgleichung von oben konvergiert für praktisch jeden Startwert mit der Eigenschaft

- 2 <= x <= 10 ^ 308

Es konvergiert nach :

x = 3.293735018168471

Hier wird das auch noch mal erklärt :

https://www.youtube.com/results?search_query=fixed+point+iteration

https://goo.gl/3MCdhj

Wieso soll das nur für das Intervall [-2;10^308] funktionieren? Bei Startwerten kleiner -2 ist einfach der Term unter der 3.Wurzel kleiner Null und damit können wohl einige Programme, wie z. B. auch meine Tabellenkalkulation (OpenOffice) nicht umgehen...

So kommt z. B. für den Startwert x0=-3 der Wert x=-1,89 (gerundet) raus; mit diesem Wert gehts dann wieder mit jedem Programm "normal" weiter.

Und bei 10^308 ist ebenfalls nur der Computer an seine Grenzen gestoßen...

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@Rhenane

Zitat von mir :

Ich habe es auf meinem Computer ausprobiert ...

Damit meine ich, dass die Programmiersprache, die ich auf meinem Computer verwendet habe, für - 2 <= x <= 10 ^ 308 brav und artig mitspielt, mit anderen Startwerten für x jedoch versagt.

Taschenrechner werden schon ab 10 ^ 100 versagen, die meisten jedenfalls.

Und es wird sicherlich auch Programmiersprachen geben für die selbst Werte für x > 10 ^ 308 kein Problem darstellt, meine Programmiersprache packt das jedoch nicht.


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@DepravedGirl

Anmerkung :

Dieser Datentyp Double ist bei Programmiersprachen ziemlich weit verbreitet und geht bis zirka 10 ^ 308, genauer bis

(2 ^ 1023) * (1 + (1 − 2 ^ (−52))) ≈ 1.7976931348623157 * 10 ^ 308

https://de.wikipedia.org/wiki/Datentyp

Auf dieser Webseite steht, dass einige Programmiersprachen auch mit dem Datentyp Extended umgehen können, was bis zirka 10 ^ 4932 geht.

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@DepravedGirl

Wollte ja auch nur kurz andeuten, dass da, wo bei der "neumodischen Technik" Schluß ist, die Grenzen des mathematisch machbaren noch lange nicht erreicht sind :)

Habe mich selbst etwas gewundert, dass OpenOfficeCalc bei  negativen (ungeraden) Wurzeln streikt ...

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HN : * 12
Ordnen
*(-1)
Newton Verfahren

Nullstelle bei ca x => 3,29...

Newton :

x(neu) = x(Start) - (f(xs))/(f'(xs ))

Startwert : x1 = 3

Gleichung :

4x^3 -27x -54 = 0 I (vereinfacht)

f'(x) = 12x^2-27

x(n_1) = 3 - (f(3)/(f'(3)))

=> 3,33333

x(n_2) = 3,33333-(f(3,33333)/(f'(3,33333))

=> 3,29432

x(n_3) = 3,29432 - (f(3,29432)/(f'(3,29432)

=> 3,29374

x(n_4) = 3,29374 - (f(3,29374)/(f'(3,29374))

=> 3,29374 <=

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Wo willst du da bitte eine Polynomdivison anwenden. Weißt du überhaupt was das bedeuten xd

wenn Du ja weißt, wie man diese Gleichung löst, bitte verrate es mir mal ....  Danke!

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