Dürfen theoretisch Männer, die "Dieter" heißen, ihren Namen mit "Dr." abkürzen, auch wenn sie keinen akademischen Grad besitzen?

Ist so verboten.
Zwischen D und R muss ein T stehen

Eher nicht, da Dr. für Doktor steht, und dadurch jeder, der es liest, das als Doktorgrad auffasst. Wenn Dieter also nicht tatsächlich Doktor ist, dann darf er sich auch nicht Dr. nennen.

Und auch nicht "Prof." unter der Vorgabe, dass er berufstätig und damit Profi ist.

Nein, dürfen sie nicht.

Er dürfte es auch dann nicht, wenn er einen Doktortitel hätte.
Dann würde es ja "Dr. Dr." heißen.

Auf amtlichen Dokumenten nicht, aber ansonsten in Form eines Nutzernamens ja.