Welche Kraft wirkt auf feste Rolle?
Aaalso
folgende Fragestellung: ich hab eine "ideale" Umlenkrolle (mit vernachlässigbarer Reibung, Masse und Trägheitsmoment ;) ) an der decke. über diese Rolle liegt ein (masseloses) seil, an dessen Enden jeweil ein gewicht hängt.
welche Kraft wirkt dann auf die Aufhängung der Rolle? logisch, wenn beide gewichte gleichschwer sind ist es die addierte gewichtskraft der beiden. aber wenn sie unterschiedlich viel wiegen? es kann ja nicht bloß gewichtskraft von gewicht 1 + gewichtskraft von gewicht 2 sein ...
oder..?
5 Antworten
Wenn die Gewichte unterschiedlich sind, wird das schwerere runterrollen und dabei stetig beschleunigen. Dadurch ist die Kraft geringer als die Summe beider Gewichtskräfte!
Hmm, kack GF.net verformatiert immer alles. Was kursiv ist, hat zum Teil Malzeichen drinne..... Egal
dooooch, ich war bloß schon im bett :P
vielen dank ;)
aber nur so zur info, soo eine ausführliche antwort hätts gar nicht gebraucht, zumal ich mir die beispielzahlen eh nur ausgedacht hatte
ich wollte bloß eine art doppelte atwoodsche fallmaschine qualitativ einschätzen ;)
Dies ist die interessanteste Frage, die ich bisher in diesem Forum gelesen habe. Ich versuche sie ganz anschaulich zu erklären. Auf einer Seite hängt die Masse M1 mit dem Gewicht M1 x g. Auf der anderen Seite hängt die Masse M2 mit dem Gewicht M2 x g (g ist die Erdbescheunigung). Zunächst würde man die Masse M1 festhalten, die Masse M2 hängt dann über die Rolle verbunden an M1. Wenn man jetzt die Masse M1 losläßt, beschleunigt sie nach unten und die Masse M2 nach oben. Wäre die Masse M2 Null, dann würde M1 frei fallen und es würde keinerlei Kraft auf das Seil und die Rolle wirken. Daran erkennt man schon, dass die Summe der Gewichte nicht die Lösung ist. Je größer M2 ist, umso mehr wird M1 zurückgehalten. Wir betrachten das ganze aus den zwei mit dem Seil verbundenen Gewichten bestehende System und stellen fest, dass an diesem System eine Beschleunigungskraft angreift, die der Differenz der Gewichte, also M1 x g - M2 x g entspricht. Da die Masse des Systems M1 + M2 ist, ergibt sich eine Beschleunigung von b = (M1 x g - M2 x g)/ (M1 + M2). Da M2 an M1 hängt brauchen wir nur die Kraft ausrechnen, die M2 auf das Seil ausübt. Über die Rolle wirkt diese Kraft auch auf der Seite von M1. Dazu müssen wir dann noch M2 x g, also das Gewicht von M2 addieren, und wegen der zwei Seile das Ergebnis verdoppeln, dann haben, wir die auf die Rolle wirkende Kraft. Die an M2 angreifende Kraft ist damit K = M2 x b + M2 x g = M2 x (M1 x g - M2 x g)/(M1 + M2) + M2 x g. M2 x g ausgeklammert ergibt K = M2 x g (M1 - M2)/(M1 + M2) + M2 x g. D. h. die Kraft, die auf das Seil wirkt entspricht dem Gewicht von M2 plus dem, um den Faktor (M1 - M2)/ M1 + M2) reduzierten Gewicht. Man sieht, dass im Falle von M1 = M2 dieser Faktor zu Null wird und als Kraft nur noch das Gewicht M2 x g übrig bleibt. Wird M2 sehr klein geht (M1 - M2)/ M1 + M2) gegen 1, und es ergibt sich eine Kraft von 2 x M2 x g. Dies ist plausibel, weil durch den nahezu freien Fall von M1, die Masse M2 mit g nach oben beschleunigt wird und damit zusammen mit der Erdbeschleunigung mit 2g beschleunigt wird. Vielleicht zum Abschluß noch ein Beispiel: M1 = 10 kg, M2 = 4 kg. Solange M1 festgehalten wird, wirkt nur das Gewicht von M2 auf jedes der beiden Seile der Rolle, also 2 x 4kp = 8 Kp. Wird M1 losgelassen ergibt sich K = 4g(10 - 4)/(10 + 4) + 4g = 5,71 g. Auf die Rolle wirkt damit eine Kraft von 2 x 5,71 = 11,43 kp. Das ganze Experiment dauert natürlich nur solange die Gewichte sich frei bewegen können, hat also kaum praktischen Nutzen, ist aber sehr interessant.
Man kann herleiten, dass die resultierende Kraft auf die Rolle F = g * 4 * m1 * m2 / (m1+m2) ist.
Hier sieht man auch die Spezialfälle:
1) Beide Gewichte sind gleich => Dann ist F = g * 4 * m * m / (m+m) = g * 2m. Die resultierende Kraft ist also (logischerweise) einfach die Summe der beiden Gewichtskräfte.
2) Es ist nur ein Gewicht da => F = g * 0 * m / (0+m) = 0. Hier wirkt keine Kraft, weil das Gewicht einfach herunterfällt.
Bei Interesse kann ich die Herleitung mal posten.
p.s. Sehr interessante Frage übrigens.
wenn die gewichte unterschiedlich sind wirds abrollen und runterfallen...
schon klar, aber welche Kraft wirkt auf die rolle?
beispiel, ans eine ende hänge ich 2,5 t, an die andere 3 t ... logisch, das es sich bewegen wird, aber wirkt währenddessen einfach bloß die addierte gewichtskraft der beiden einzelgewichte auf die rolle??
dann macht es Plumps
Trenne die Gewichtskräfte Fg von den Trägheitskräften Ft. In deinem Beispiel werden beide Massen beschleunigt, und zwar mit der Differenz beider Gewichtskräfte. Das sind bei dir (3t-2,5t)g=4,905 kN. mit F=(m1+m2)a bekommst du dann die Beschleunigung raus: a=~0,9m/s2. Daraus kannst du dann wieder nach der gleichen Formel die Trägheitskräfte auf die einzelnen Massen berechnen:
Diese muss der Gewichtskraft der leichteren Masse, da diese hochgezogen wird, dazugezählt werden; und der Gewichtskraft der schwereren Masse abgezogen werden. Beide Ergebnisse sollten gleich sein:
Leichtere Masse: F = Fg + Ft = 2500kg9,81m/s2 + 2500kg0,9m/s2 = 26,775 kN
Schwerere Masse: F = Fg - Ft = 3000kg9,81m/s2 - 3000kg0,9m/s2 = 26,73 kN
Damit hast dus. Die Lösung ist die Summe beider kombinierten Kräfte (die sollten zwar gleich sein, aber der Fehler ist ein Rundungsfehler der Beschleunigung).