Frage von McXnightman, 49

Zwei Funktionen Null setzen?

Es geht um das Thema Extremstellen von Funktionen mehrerer Veränderlicher.

Um die notwendige Bedingung zu erfüllen, müssen die partiellen Ableitungen gleich Null gesetzt werden.

Meine Frage ist jetzt wie ich da am besten vorgehen muss.

Mal am Beispiel: Ich habe zwei Funktionen

fx(x,y)= 3x^2+12x+3y und fy(x,y)=3x-6y

Eine Lösung wäre ja x und y gleich 0. Aber wie komme ich zu den anderen Lösungen? Löse ich die eine Funktion nach x auf und setze sie in die andere?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 20
3x² + 12x + 3y = 0
       3x - 6y = 0 |:2 1,5x - 3y = 0 I+III 3x² + 13,5x = 0 x(3x + 13,5) = 0 | Lsg 1 -> y = 0 3x + 13,5 = 0 3x = -13,5 x = -4,5 y = -2,25
Kommentar von McXnightman ,

Vielen Dank. Mir fehlte nur ein System wie ich zur Lösung komme und da ist Ihre Antwort sehr hilfreich.

Kommentar von Suboptimierer ,

Kein Problem.

Kommentar von McXnightman ,

Mit welchen Befehlen bei der Texteingabe schaffen Sie es, dass die Potenz oben steht? Oder wie kriege ich z.B.: ein Summenzeichen hin?

Kommentar von Suboptimierer ,

Mit Alt + 2 oder Alt + 3 bekommt man ²³. Die anderen Zahlen und Zeichen muss man sich irgendwo her kopieren. Beispiel: 

https://de.wikipedia.org/wiki/Unicodeblock_Hoch-_und_tiefgestellte_Zeichen
https://en.wikipedia.org/wiki/Blackboard_bold
https://de.wikipedia.org/wiki/Unicode-Block_Mathematische_Operatoren

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 12

Du musst Deine beiden Ableitungen fx und fy gleich Null setzen, und dieses Gleichungssystem dann lösen.

also:

(I) 3x²+12x+3y=0
(II) 3x-6y=0

Würde es so machen, wie Du schon vorgeschlagen hast: (II) nach x auflösen und in (I) einsetzen...

Antwort
von precursor, 7

Das habe ich im Internet gefunden -->

http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Verschiedenespdf/Extrema2Variable.pdf

Auf dein Beispiel angewendet :

f(x, y) = x ^ 3 + 6 * x ^ 2 + 3 * x * y - 3 * y ^ 2 + 1


f _ x (x, y) = 3 * x ^ 2 + 12 * x + 3 * y

f _ y (x, y) = 3 * x - 6 * y

f _ xx (x, y) = 6 * x + 12

f _ yy (x, y) = -6

f_ xy (x, y) = 3

----------------------------------------------------------------------------------------------------

I.) 3 * x ^ 2 + 12 * x + 3 * y = 0

II.) 3 * x - 6 * y = 0

Das musst du lösen !

II.) y = (1 / 2) * x

y aus II.) in I.) einsetzen -->

I.) 3 * x ^ 2 + 12 * x + (3 / 2) * x = 0

I.) 3 * x ^ 2 + (27 / 2) * x = 0

x ausklammern -->

I.) x * (3 * x + (27 / 2)) = 0

Erste Nullstelle lautet x _ 1 = 0

I.) 3 * x + (27 / 2) = 0 | : 3

I.) x _ 2  = - 9 / 2

x _ 1 und x _ 2 in II.) einsetzen -->

II.) y _ 1 = ( 1 / 2) * 0 = 0

II.) y _ 2 = (1 / 2) * -9 / 2 = - 9 / 4

Demnach liegen MÖGLICHE (!!) Extremstellen bei -->

x _ 1 = 0 und y _ 1 = 0

und

x _ 2 = -9 / 2 und y _ 2 = - 9 / 4

Nun muss noch geprüft werden, ob es sich um Minimum, Maximum oder gar keinen Extremwert handelt !!!

Dazu dient laut Webseite von oben folgende Ungleichung -->

f_ xx (x, y) (x_i, y_i) * f _ yy (x, y) (x_i, y_i) - (f _ xy (x_i, y_i)) ^ 2 > 0

Diese Ungleichung bestimmt, ob es überhaupt ein Extremwert ist, ist sie nicht erfüllt, dann liegt kein Extremwert vor !!

Wenn diese Ungleichung erfüllt ist, dann gilt für

f_xx (x_i, y_i) < 0 Maximum

f_xx (x_i, y_i) > 0 Minimum

Nun müssen wir deine Ergebnisse von oben prüfen -->

f _ xx (0, 0) = 6 * 0 + 12 = 12

f _ yy (0, 0) = -6

(f _ xy (0, 0)) ^ 2 = 3 ^ 2 = 9

f _ xx (0, 0) * f _ yy (0, 0) - (f _ xy (0, 0)) ^ 2 = 12 * (-6) - 9 = -81

Das ist nicht > 0, deshalb liegt an der Stelle x _ 1 = 0 und y _ 1 = 0 KEIN (!!) Extremwert vor !!

f _ xx (- 9 / 2, -9 / 4) = 6 * (-9 / 2) + 12 = -15

f _ yy (- 9 / 2, -9 / 4) = -6

(f _ xy (- 9 / 2, -9 / 4)) ^ 2 = 3 ^ 2 = 9

f _ xx (- 9 / 2, -9 / 4) * f _ yy (- 9 / 2, -9 / 4) - (f _ xy (- 9 / 2, -9 / 4)) ^ 2 = (-15) * (-6) - 9 = + 81

Das ist > 0, an der Stelle x _ 2 = -9 / 2 und y _ 2 = -9 / 4 liegt ein Extremwert vor !

Nun muss noch die Art dieses Extremwertes abgeglichen werden !

f _ xx (- 9 / 2, -9 / 4) = -15

Das ist < 0, also liegt an der Stelle x = -9 / 2 und y = -9 / 4 (Den Index kann man jetzt schon weglassen !) ein Maximum.

Fazit / Endergebnis -->

-------------------------------------------------------------------------------------------------

MAXIMUM AN DER STELLE x = -9 / 2 UND y = -9 / 4

AN DER STELEE x = 0 und y = 0 LIEGT KEIN (!!) EXTREMWERT !

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Das Wissen dazu stammt nicht von mir, sondern das habe ich alles von der oben genannten Webseite !!, die solltest du dir noch mal anschauen !

Antwort
von precursor, 26

Da stimmt etwas nicht -->

f(x, y) = x ^ 3 + 6 * x ^ 2 + 3 * x * y

f_ x (x, y) = 3 * x ^ 2 + 12 * x + 3 * y

f _ y (x, y) = 3 * x

Deine Ableitung nach y wäre demnach falsch !

Bitte poste noch mal die Originalfunktion von der du abgeleitet hast, um Irrtümer zu beseitigen !!

Kommentar von McXnightman ,

Also die Funktion f(x,y)=x^3+6x^2+3xy-3y^2+1

Kommentar von McXnightman ,

Die Ableitungen müssten richtig sein. Nur ich weiß jetzt nicht wie ich die Bedingung erfüllen muss, dass beide gleichzeitig Null sind.

Kommentar von precursor ,

f(x, y) = x ^ 3 + 6 * x ^ 2 + 3 * x * y - 3 * y ^ 2 + 1

f _ x (x, y) = 3 * x ^ 2 + 12 * x + 3 * y

f _ y (x, y) = 3 * x - 6 * y

Ok, deine Ableitungen stimmen !!

Kommentar von McXnightman ,

Ich habe jetzt durch einsetzen für y=-9/4 und x=-9/2. Und natürlich für beide 0

Antwort
von MinecraftMick, 5

Du stellst ein Gleichungssystem aus den Ableitungen auf und eleminierst y. Dann bleibt als Restgleichung: 6x^2 + 27x =  0   nun x ausrechnen. (ist -4,5)  und dann in eine der Ableitungen einsetzen und y ausrechnen. (y=-2,25).  ( -4,5 | -2,25) müsste die Bedingung erfüllen.

Antwort
von gilgamesch4711, 2

  Der Precursor hat seine Gleichung I) nicht gekürzt; bei mir würde das Strafpunkte hageln ohne Ende.

  <<  Dazu dient laut Webseite von oben folgende Ungleichung -->

   Der Precursor meint hier det ( H ) , die Determinante der Hessematrix. Diese ist nämlich gleich dem Produkt der beiden Eigenwerte. An sich hätte er auch hier aus H den gemeinsamen Vorfaktor 3 heraus ziehen können.

    Was er nicht hat; det ( H ) < 0 ist hinreichend für Sattelpunkt ( SP ) Ein Sattel ist immer eine Fläche, die in einer Richtung ein Maximum und in der anderen ein Minimum besitzt, demnach im Gegentum zu dem, was der Precursor behauptet, ein VERALLGEMEINERTES EXTREMUM .

   Dies lässt sich übrigens durch elementareA nalysis einsehen ( Ich muss das Wort so komisch schreiben, weil ich durch die Moderation belehrt wurde, dass jedeA nalyse den Tatbestand des Landesverrats erfülle. ) Ich ziehe Strahlen

        x  :=  ß  t  ;  y  :=  µ  t     (  1a  )

   

       Dann lautet deine Funktion

      f  =  f  (  t  )  =  ß  ³  t  ³  +  3  (  2  ß  ²  +  ß  µ  -  µ  ²  )  t  ²  +  1     (  1b  )

             f  '  (  t  )  =  3  [  ß  ³  t  ²  +  2  (  2  ß  ²  +  ß  µ  -  µ  ²  )  t  ]      (  2a  )

             f  '  (  0  )  =  0    (  2b  )

             f  "  (  t  )  =  6  [  ß  ³  t  +  2  ß  ²  +  ß  µ  -  µ  ²  ]     (  3a  )

             f  "  (  0  )  =  2  ß  ²  +  ß  µ  -  µ  ²     (  3b  )

     D.h. die Nullstelle ist von gerader Ordnung wie bei Extremum. Setzen wir allerdings ß = 1 ; µ = 0 , so ist f " in x-richtung positiv ===> Minimum,  wohingegen in Ordinatenrichtung ein Maximum vorliegt.

  Trotzdem finde ich das Vorgehen des Precursors voll witzig; wieder was gelernt. Wenn det ( h ) > 0 , hätte ich für das Vorzeichen von Sp ( H ) plädiert. Nun ist aber sicher

           ( f_xy )   ²  >  0      (  4a  )

   so dass f_xx und f_yy immer das selbe Vorzeichen haben - schick.

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