Frage von Gegner97, 31

Zusammenhang von Monotonie und Ableitungsfunktion?

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage bezüglich des Monotonieverhaltens, und zwar weiß ich generell wie ich dieses berechnen kann, aber ich verstehe nicht ganz den Zusammenhang.

Ich leite die Funktion z. B.: f(x) in f'(x) ab. Und kann mithilfe der berechneten Extrema und einer VZ-Tabelle das Monotonieverhalten in den jeweiligen Intervallen bestimmen.

Aber wieso? Also welche Zusammenhang besteht denn da? Was verändert sich denn, dass ich das machen kann?

LG und danke im voraus! :)

Antwort
von tbausm145, 9

Zeichne doch f(x) mal und f´(x).

Ich glaube das ist ganz gut für zur Veranschaulichung und damit verstehst du die Vorzeichentabelle besser. 

Dort wo f´(x) posivitv ist ist der Graph zu f(x) steigend, dort wo f(x) negativ ist ist der Graph zu f(x) fallen. Hat der Grapf f´(x) eine doppelte Nst. ist an diesem Absziss von f(x) ein Terassenpunkt.

Antwort
von dermitdemhund23, 19

Ganz einfach. Du weißt ja schon, was ein Hochpunkt und was ein Tiefpunkt ist. Und wenn du dir jetzt einen Tiefpunkt vorstellst... dann siehst du ja, dass der Graph links und rechts vom Tiefpunkt aus hochgeht. Das nennt man monoton steigend. 

Und bei einem Hochpunkt geht der Graph ja links und rechts runter. Das nennt man monoton fallend.

Verstanden? :D

Kommentar von Gegner97 ,

Danke schon mal für die Antwort :)

Ja, das habe ich soweit Verstanden. Also ich selbst kann die Monotonie auch ohne Probleme bestimmen, aber ich verstehe einfach nicht, wie irgendjemand mal auf diese Ableitungsfunktion gekommen ist. Wieso benutzt man diese und was passiert dann mit der Funktion, dass man sie jetzt und zuvor nicht bestimmen kann?

:D

Kommentar von dermitdemhund23 ,

Die Ableitungsfunktion zeigt die Steigung der Ausgangsfunktion. 

Wenn die Ausgangsfunktion fällt, ist die Ableitungsfunktion negativ. Wenn die Ausgangsfunktion steigt, ist die Ableitungsfunktion positiv. Wenn die Ausgangsfunktion weder fällt noch steigt (also eine Extremstelle hat), ist die Ableitungsfunktion 0. 

Angenommen wir haben eine Extremstelle bei x=3. Dann wäre bei der Ableitungsfunktion logischerweise an dieser Stelle eine Nullstelle. Wenn wir jetzt x=2 und x=4 in die Ableitungsfunktion einsetzen, wissen wir ob die Ausgangsfunktion an diesen Stellen fällt oder steigt. So bestimmen wir zum einen das Monotonieverhalten und zum anderen, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt. 

Antwort
von nesamaxisinho, 10

Die Ableitungsfunktion f'(x) zeigt dir ja die Steigung der Funktion f(x).

Das heist: wenn f'(x) über der x achse verläuft (einen positiven Wert hat) , hat f(x) eine positive Steigung (Wert(y) wird größer, wenn Stelle(x) größer wird.)

Das nennt man dann streng monoton steigend.

Lg:)

Antwort
von praevus34, 2

Also die Monotonie ist immer in einem gewissen Intervall definiert. Wenn in diesem Intervall die Ableitungsfunktion größer Null ist, dann ist die Funktion da streng monoton steigend. Die Umkehrung muss nicht gelten. Dann musst du echt größer durch größergleich ersetzen. Ein Gegenbeispiel ist x^3 auf -2 bis 2. Wenn die Ableitungsfunktion auf diesem Intervall kleiner Null ist, so ist die Funktion streng monoton fallend. Und dann reicht es auf diesem Intervall, das ja in der Regel durch die Nullstellen der Ableitung begrenzt ist, einen Wertt in die Ableitung einzusetzen und dann siehst du, ob das größer oder kleiner Null ist. Dann heißt das, dass das auch für das ganze intervall so ist.

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